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§ 141. Strahlen système. § 142. Formeln für Strahlensysteme. 
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S beziehen wir auf ein krummliniges Koordinatensystem (u, v) und 
definieren das Strahlensystem analytisch in der Weise, daß wir die 
Koordinaten x, y, z des Anfangspunktes und die Richtungskosinus des 
Strahles, die wir mit 
A, jl , Z 
bezeichnen, als Funktionen von u und v ausdrücken. 
Von den Funktionen x, y, z setzen wir voraus, daß sie samt ihren 
partiellen Diiferentialquotienten endlich und stetig seien. 
Ziehen wir durch den Mittelpunkt der Kugel: 
X 2 -\- y 2 -\- Z 2 = 1 
den Radius parallel der positiven Richtung des Strahles des Systems, 
so sind X, Y, Z die Koordinaten seines Endpunktes M v Diesen Punkt 
fassen wir als das sphärische Bild der Geraden {u, v) des Strahlen 
systems auf. Durchläuft die Gerade (u, v) das System, so beschreibt 
der Punkt M 1 das sphärische Bild des Strahlensystems. 
Die Koordinaten |, 17, £ jedes Punktes P auf dem Strahl (u, v) 
sind durch die Gleichungen: 
(1) £ = x -f tX, rj=y + tY, £ = z-\-tZ 
gegeben, wo t die Abszisse des Punktes P auf dem Strahl ist und 
vom Anfangspunkte P 0 oder {x, y, z) ab gerechnet wird. 
§ 142. Formeln für Strahlensysteme. 
Mit Kummer führen wir die folgenden Fundamentalfunktionen ein: 
* ml-* 
, 's?dxdx = r 
dv du ' ’ 
'sridXdx 
¿—j dv dv 
(2) 
dX 
¿mi du dv 
(3) 
\^dXdx 
X-J du du e * 
^dXdx 
du dv 
= 9, 
mit Hilfe deren sich die beiden quadratischen Differentialformen wie 
folgt ausdrücken: 
(4) ds\ = yjdX 2 = Edu 2 + 2Fdudv + Gdv 2 , 
(5) ^dxdX = edu 2 + (f + f)dudv + gdv 2 , 
die wir die beiden Grundformen nennen. Die erste stellt das Quadrat 
des Linieneleraents des sphärischen Bildes dar; offenbar gibt ds l auch 
den unendlich kleinen Winkel zwischen zwei aufeinander folgenden Er 
zeugenden (u, v), {u P du, v 4- dv) an.