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Kap. 1. Kurven doppelter Krümmung. 
M" gleichzeitig nach M rücken lassen (so daß die Differenzen zwischen 
den Koordinaten von M' und M" nicht von höherer Ordnung unend 
lich klein werden wie die entsprechenden Differenzen gegen M). Wegen 
dieser letzten Eigenschaft sagt man auch kurz, daß die Schmiegungs 
ebene in M die durch M und zwei aufeinanderfolgende Kurvenpunkte 
M' und M" gelegte Ebene ist. 
§ 4. Hauptnormale und Binormale. 
Die Schmieguugs- und die Normalenehene in M schneiden sich in 
einer Geraden, die in M auf der Kurve senkrecht steht und den Namen 
Hauptnormale der Kurve in M führt; es ist diejenige Normale der 
Kurve, welche in der Schmiegungsebene liegt. Binormale dagegen 
heißt die Senkrechte in M auf der Schmiegungsehene. 
Es muß nun in geeigneter Weise festgesetzt werden, welche Rich 
tung der Haupt- und der Binormale wir im folgenden als positiv au- 
nehmen wollen, und wir schicken zu diesem Zwecke die nachstehenden 
Bemerkungen voraus. 
Wir betrachten die Ebene durch Tangente und Binormale, deren 
Gleichung lautet: 
(6) 
Diese Gleichung stellt nämlich wegen der Identität; 
dx d 2 x dy d 2 y . dz d 2 z 
ds ds 2 ds ds 2 ' ds ds 2 
und wegen der Gleichung (5) der Schmiegungsebene gerade die Ebene 
dar, welche durch die Tangente senkrecht zur Schmiegungsebene ge 
legt ist. 
Wir berechnen nun die Entfernung d eines M dicht benachbarten 
Kurvenpunktes M' von der Ebene (6). Bezeichnen wir mit h den 
(unendlich kleinen) Zuwachs des Bogens s beim Übergange von M 
zu M' und mit zIx, ¿dy, Az die Zunahmen der Koordinaten, so 
haben wir: 
d 2 x d 2 y d 2 z 
Jx d7 2JrJy ~ds 2 + Jz Js* 
oder wegen der Gleichungen (a) des vorigen Paragraphen: 
wo s in bezug auf li unendlich klein von der dritten Ordnung ist. Aus 
dieser Gleichung folgt, daß das Zeichen von d von demjenigen von h