294 Kap. 11. Unendl. kleine Yerbiegg. d, Flächen u. Entspr. durch Orthog. d. El. 
Eine zweite endliche Fassung derselben Aufgabe ergibt sich aus 
den folgenden Überlegungen: es werde 
| = X + tx, yj = y + ty, g = Z + tg 
gesetzt, wo t eine Konstante ist. Werden |, rj, g als Koordinaten eines 
beweglichen Punktes einer Fläche £ aufgefaßt, so erhalten wir für 
das Quadrat des Linienelements dieser Fläche nach (1): 
di 2 -f- dr { 2 -\- dg 2 = dx 2 + dy 2 -\- dz 2 -\- t 2 {dx 2 + dy 2 -f- dz 2 ), 
d. h. einen Wert, der sich nicht ändert, wenn t durch — t ersetzt wird. 
Betrachten wir also die Ortsiläche £' des Punktes 
i'=x — tx, n = y ~ ty, t'=y~ tz, 
so sind £ und £' aufeinander abwickelbar, wobei die Punkte (£, t], g), 
(£', rj', g') einander entsprechen. Der Mittelpunkt der Strecke, die zwei 
entsprechende Punkte von £, £' verbindet, ist der Punkt P {x, y, z) von S, 
während die Richtung dieser Strecke die Richtung der Verschiebung 
angibt, die P erfährt. 
Umgekehrt seien 2, 2' zwei aufeinander abwickelbare Flächen, 
und |, y, g; rj', g' die Koordinaten zweier entsprechender Punkte. 
Setzt man dann: 
x = 
i±r 
2 7 
y 
v + v' 
2 7 
Z = 
i+r 
2 7 
so ist: 
z 
l~ r 
2 7 
dxdx + dydy + dzdz = 0. 
Also: Sind zwei Flächen £, £' aufeinander abwickelbar, so 
ist die Ortsfläche S des Mittelpunktes der Verbindungslinie 
zweier entsprechender Punkte einer unendlich kleinen Ver 
biegung fähig, bei der jeder Punkt von S in der Richtung 
dieser Verbindungslinie verschoben wird. 
§ 159. Die charakteristische Funktion cp und die charakteristische 
Gleichung. 
Wir kommen nun zu der analytischen Behandlung unserer Auf 
gabe, die in der Bestimmung dreier solcher unbekannter Funktionen 
x, y, z von m, v besteht, daß die Gleichung (1) oder die drei Gleichungen: 
\1 dxdx \1 dxdx V dxdx Xi dxdx ^ 
^ du du 7 dv dv 7 I du dv i du dv 
erfüllt werden.