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§ 160. Umformung der charakteristischen Gleichung. 
Wir wollen nun beweisen, daß jedem Integral cp dieser Gleichung 
eine Lösung der Aufgabe entspricht. Hierzu bemerken wir, wie in der 
Anmerkung zu S. 293, daß, wenn 
x= y, y = — x, 3=0 
gesetzt wird, die Grundgleichung (1) erfüllt ist. Der entsprechende 
Wert der charakteristischen Funktion cp ist 
<p = X; 
daher besitzt die Gleichung (7) die partikulären Lösungen 
X, 7, X. 
Hierauf läßt sich sofort nachweisen, daß, wenn cp eine Lösung der 
Gleichung (7) ist, die Gleichungen (6) den Integrahilitätshedingungen 
genügen und mittels Quadraturen eine Fläche S ergeben, die der Fläche 
S durch Orthogonalität der Elemente entspricht. 
Aus dem soeben Bemerkten folgt weiter, daß diejenigen unendlich 
kleinen Verbiegungen der Fläche S, die nur in einer Bewegung be 
stehen, den Lösungen 
cp = aX + h Y + cZ (a, h, c = Const.) 
der charakteristischen Gleichung (7) entsprechen. 
Wir bringen nun die Gleichung (7) auf eine für die Anwendungen 
sehr wichtige Form. Sie ergibt sich, wenn die Koeffizienten 
e, ft 9, 
die bei der sphärischen Abbildung von S auftreten, eingeführt werden. 
Wird die Gleichung (7) mit YEG — F*. ]/eg — /‘ 1 2 multipliziert und 
wird dabei berücksichtigt, daß nach S. 120 
ist, so folgt: 
KyEG - F 2 = ± Yeg -f 
1) Der Koeffizient von cp, 
H von S an. 
2FD — FD' 
GD 
FG — F‘ 
, gibt die mittlere Krümmung