§ 161. Die bei unendlich kleinen Verbiegungen assoziierten Flächen. 299 
§ 161. Die bei einer unendlich kleinen Verbiegung assoziierten 
Flächen. 
Um die charakteristische geometrische Beziehung zwischen zwei 
solchen Flächen 8 und S 0 zu erkennen, bemerken wir, daß, wenn wir 
sie einander Punkt für Punkt durch Parallelisraus der Normalen ent 
sprechen lassen und wenn wir mit 
Ddv? + 2D'dudv + D"dv 2 , 
D 0 du 2 + 2D 0 'dudv + D 0 "dv 2 
(a) 
bezüglich die beiden zweiten Grundformen von 8 und S 0 bezeichnen 
und dabei berücksichtigen, daß 
— -P 0 = <Pn + e< P> — = <Pn + f<P> ~ Do" = <Pm + 9<P 
ist, die Gleichung (8) in die folgende übergeht: 
D"D 0 + DD 0 " - 2D'D 0 ' = 0. 
(8*) 
Sie besagt, daß die simultane Invariante dieser beiden Differentialformen 
gleich Null ist. Geometrisch ausgedrückt heißt dieses, daß den Haupt 
tangentenkurven auf der einen Fläche ein konjugiertes System auf der 
anderen entspricht, wie man auf Grund der Invarianteneigenschaft der 
Gleichung (8*) sofort daraus ersieht, daß, wenn D = D" — 0 ist, 
JD 0 ' = 0 folgt. 
Wenn sich umgekehrt die beiden Flächen 8 und S 0 durch Paralle 
lismus der Normalen in der Weise entsprechen, daß den Haupttangenten 
kurven auf der einen ein konjugiertes System auf der anderen entspricht, 
so ist infolge der Gleichung (8) oder der äquivalenten (7*) sofort klar, 
daß der Abstand eines festen Raumpunktes von der Tangentialebene der 
einen die charakteristische Funktion für eine unendlich kleine Ver 
biegung der anderen ist. Wir sagen dann, daß die Flächen S, S 0 ein 
Paar assoziierte Flächen sind. 
Wir sehen uuu, daß, wenn von zwei assoziierten Flächen die eine 
ein positives Krümmungsmaß besitzt, die andere sicherlich ein negatives 
hat, wie aus der Gleichung (8) hervorgeht, denn wird darin z. B. 
D r == 0 angenommen und D, D" dasselbe Vorzeichen beigelegt, so 
folgt daraus, daß D 0 und D 0 " entgegengesetzte Vorzeichen haben. 
Dagegen kann einer Fläche mit negativem Krümmungsmaß sowohl eine 
solche mit negativem wie mit positivem Krüramungsmaß assoziiert sein. 
Eine der beiden assoziierten Flächen 8, S 0 wenigstens besitzt demnach 
reelle Haupttangentenkurven, nehmen wir z. B. an, die Fläche S 0 . 
Wir wählen dann als Parameterlinien u, v auf S 0 die Haupttangenten 
kurven, denen auf 8 ein konjugiertes System entspricht. Aus den