300 Kap. 11. Unendl. kleine Verbiegg. d. Flächen u. Entspr. durch Orthog. d. El. 
Formeln für die sphärische Abbildung, Kap. V, insbesondere den 
Gleichungen (13) und (22), S. 126 und 134, erkennt man sofort, daß 
die Beziehungen zwischen den Koordinaten x, y, x 0 , y 0 , z 0 zweier 
entsprechender Punkte auf S und S 0 wie folgt lauten: 
' dx 
du 
7 
dv 
dy_ = 
du 
7 dy 0 
t -5—> 
dv 
dz 
du 
7 d 
fr —1 
dv 
dx 
d Xq 
dy _ 
™ dy« 
dz 
dz 0 
dv ~ 
m -5—; 
du 
dv 
du 
dv 
m 
du 
wo l, m passende Funktionen von u, v sind. 
Wir betrachten ferner dasjenige konjugierte System («, ß) auf S f 
dem auf S 0 ebenfalls ein konjugiertes entspricht, indem wir nämlich 
als Veränderliche a, ß diejenigen einführen, durch die sich die beiden 
simultanen Formen (a) als Summen von Quadraten darstellen lassen. 
Dieses System ist sicher stets reell, wenn eine der beiden Flächen 
elliptische Punkte hat, d. h. wenn eine der beiden Formen (a) definit 
ist. In diesen Veränderlichen a, ß gelten nach § 69 die Gleichungen: 
(10) 
Hierin ist r eine Funktion von cc, ß, die durch die Gleichungen: 
' ? x o = 
_ dx 
dy 0 = 
dy 
djo = 
dz 
da 
da 
d a 
da 
= r 
d a 
dx 0 
dx 
dy 0 
- r dy , 
dz 0 
dz 
dß ~ 
~~ r dß’ 
dß 
dß 
dß 
r dß' 
(11) 
d log r 
da 
= — 2 
d log r 
bestimmt ist, wo die Symbole rechts für das Linienelement von S in 
den Parametern a, ß berechnet sind. 
Wir sehen demnach, daß die an den Kurven a, ß auf S und S 0 
in zwei entsprechenden Punkten gezogenen Tangenten einander parallel 
sind und daß die Laplacesche Gleichung für die beiden konjugierten 
Systeme (a, ß) auf S und S 0 gleiche Invarianten besitzt. 
Die Gleichungen (10) können auch in der folgenden Form ge 
schrieben werden: 
d_ 
da 
d_ 
dß 
wo l und y Proportionalitätsfaktoren sind. Sie besagen, daß, wenn 
wir das von den Verbindungslinien entsprechender Punkte P, P 0 zweier