§162. Zurückführung d. Charakter. Gleich, auf ihre beiden Normalformen. 301 
assoziierter Flächen gebildete Strahlensystem betrachten, die abwickel 
baren Flächen desselben die Flächen a — Const. und ß = Const. sind 
und daß die Brennpunkte F t , F 2 , deren Koordinaten 
Xq — rx y 0 — ry 
1 — r ’ 1 — r 
bez. 
v 0 + rx y 0 -f- ry 3 0 -f rz 
1 4- r ’ 1+r ’ 1 +r 
sind, die Strecke PP 0 harmonisch teilen. Also: Die abwickelbaren 
Flächen des von den Verbindungslinien entsprechender Punkte 
P, P 0 zweier assoziierter Flächen S, S 0 gebildeten Strahlen 
systems schneiden jede dieser Flächen in einem konjugierten 
System mit gleichen Invarianten; auf jedem Strahl teilen die 
Brennpunkte die Strecke PP 0 harmonisch. 
§ 162. Zurückfülirung der charakteristischen Gleichung auf ihre 
beiden Normalformen. 
Wir kehren nun im Falle einer gegebenen Fläche S zu der 
charakteristischen Gleichung (7*) für unendlich kleine Verbiegungen 
zurück und wollen dieselben durch zweckmäßige Wahl der Parameterlinien 
u, v in eine Form bringen, die wir als die Normalform bezeichnen. 
1. Wir setzen zunächst voraus, daß die Fläche S entgegengesetzt 
gerichtete Hauptkrümmungsradien besitze, und wählen als Pararaeter- 
linien die Haupttangentenkurven u, v. Da dann D = 0, D" = 0 ist, 
so lautet die Gleichung (7*): 
<Pn+ f<P = 0 
oder, wenn wir mit Hilfe der Gleichungen in § 65, S. 126, entwickeln: 
ä+i ^ ¡ v +f<p- o 
dudv 2 dv du 2 du dv ' ^ 
(12) 
Ist cp eine Lösung dieser Gleichung, so lauten die allgemeinen Glei 
chungen (6), welche die der Fläche S durch Orthogonalität der Ele 
mente entsprechende Fläche S bestimmen: 
(IS) 
usw. 
Nun wenden wir die Transformation an, deren wir uns in § 68, S. 131, 
zur Ableitung der Lelieuvreschen Formeln bedient haben, d. h. wir 
ersetzen die unbekannte Funktion cp durch 
cp]/ q = &.