304 Kap. 11. ünendl. kleine Yerbiegg. d. Flächen u. Entspr. durch Orthog. d. El. 
so ergibt sieb: 
' D dx_ 
D" d v 
Aber nach den Gleichungen (25), S. 134: 
f i 21 [ll y D" 11 21 i 2 21' D 
1 1 I l 2 J D > 12 j l 1 j 
kann diese Gleichung wie folgt geschrieben werden: 
d 2 x ¡12\dx 2\dx 
dudv \ 1 } du 1 2 ) dv 
Daraus ergibt sich, daß auch auf S das System (u, v) konjugiert ist, 
und ferner, daß die Laplacesche Gleichung auf S dieselbe ist wie auf 
S. Des weiteren sehen wir, daß derselben Laplaceschen Gleichung: 
d 2 & _ (12) d& [I2i d& 
dudv [lidu'lzldv 
wegen der Identität (S. 294): 
auch der Ausdruck: 
xx + yy + zz 
genügt. Wenn wir nun auf die S. 294 gegebene zweite endliche Fassung 
der Aufgabe der unendlich kleinen Verbiegungen zurückgehen und die 
beiden aufeinander abwickelbaren Flächen 2J, 2' betrachten, welche 
die Ortsflächen der Punkte: 
| = x + tx, rj = y + ty, £ = z + tz 
%=x — tx, y — y — ty) t = z — tz 
(t = Const.) 
bez. 
sind, so sehen wir, daß auch auf 2 und 2' das System (u, v) kon 
jugiert ist und daß die Laplacesche Gleichung immer dieselbe bleibt. 
Von dieser ist außer rj, rj', £' auch der Ausdruck: 
(£ 2 + rf + £ 2 ) ~ (I' 2 + V 2 + £' 2 ) = 4d( xx + VV + zz ) 
eine Lösung 1 ). 
1) Ygl. Koenigs, Comptes Rendus de l’Acad. des Sciences, 116. Bd., S. 569 
(1893). Der Satz von Koenigs ergibt sich übrigens sofort daraus, daß für die 
zwei auf das gemeinsame konjugierte System bezogenen und aufeinander ab 
wickelbaren Flächen die Laplacesche Gleichung dieselbe ist. Wenn 
<?' = Kr 2 +v 8 +n 
gesetzt wird, so folgt (§ 60, S. 116): 
Cl2 = ^ 1 Pis ~ F. 
Hieraus könnten wir umgekehrt die Ergebnisse des Textes folgern.