§ 163. Konjug. System, das bei unendl. kleinen Verbiegungen konjug. bleibt. 305 
Insbesondere gilt dieses für einen unendlich kleinen Wert e von t, 
woraus sich der Satz ergibt: 
Das konjugierte System auf einer Fläche S, das den Haupt- 
tangentenkurven der einer Fläche S bei einer unendlich klei 
nen Verbiegung assoziierten Fläche S 0 entspricht, bleibt bei 
dieser Verbiegung konjugiert. Auf der Fläche S, die der 
Fläche S durch Orthogonalität der Elemente entspricht, ent 
spricht diesem System wieder das homologe konjugierte System. 
Betrachten wir umgekehrt bei einer unendlich kleinen Verbiegung 
einer Fläche S dasjenige konjugierte System, welches bei der Verbie 
gung konjugiert bleibt 1 ). Ihm entspricht auf der assoziierten Fläche 
S 0 das System der Haupttangentenkurven. Wir können also das Er 
gebnis so aussprechen: 
Damit ein konjugiertes System auf S bei einer unendlich 
kleinen Verbiegung von S konjugiert bleibe, ist es notwendig 
und hinreichend, daß sein Gaußiscbes sphärisches Bild auch 
dasjenige der Haupttangentenkurven einer Fläche S 0 ist. Die 
Flächen S, S 0 sind dann bei dieser A erbiegung assoziiert. 
Ist insbesondere das konjugierte System das der Krümmungslinien, 
so geht die soeben aufgestellte Bedingung in die über, daß das sphä 
rische Bild der Krümrnuugslinien ein Isothermensystem sein muß. Die 
assoziierte Fläche S 0 ist dann eine Minimalfläche 2 ). 
§ 164. Eigenschaften von Flächen, die einander durch Orthogo 
nalität der Elemente entsprechen. 
Wir wollen nun einige Eigenschaften von Paaren einander durch 
Orthogonalität der Elemente entsprechender Flächen S, S entwickeln. 
1) In jedem Falle, außer in demjenigen einer bloßen Bewegung (bei der 
offenbar jedes konjugierte System konjugiert bleibt), ist dieses System eindeutig 
bestimmt und sicher reell, wenn die Fläche, die verbogen wird, positives Krüm 
mungsmaß hat. Bezeichnen wir nämlich mit SD, SD', SD" die Variationen von 
D, D', D" bei der Verbiegung, indem wir das gemeinsame konjugierte System 
als nicht eindeutig bestimmt voraussetzen, so muß die Proportion: 
SD : SD’: SD" = D: D': D" 
bestehen, und da ferner 
S{DD" — D'*) = DSD" + D"SD — 2 D'SD' = 0 
ist, während DD" — I)' 2 nicht gleich Null ist, so folgt daraus: 
SD = SD' = SD" — 0. 
2) S. Weingarten, Sitzungsber. der Königl. Akad. d. Wissensch. zu Berlin, 
28. Jan. 1886. 
Bianchi, Differentialgeometrie. 2. Aufl. 
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