§ 167. Besondere Klassen von Ribaucoursclien Strahlensystemen. 311 
spricht, das demnach ein Ribaucoursches ist. Bezeichnen wir näm- 
lich mit 
das Krümmungsmaß von 8, so gelten die Gleichungen (§ 65, S. 126, (10)): 
d log* 
dv 
d log R 
du 
und für die Koordinaten x, y, z eines Punktes von 8 ist (S. 126, (13)): 
Diese Gleichungen ergeben, mit den Gleichungen (22) kombiniert: 
und beweisen dadurch eben, daß 8 und 8 einander durch Orthogona 
lität der Elemente entsprechen 1 ). 
§ 167. Besondere Klassen von Ribaucoursclien Strablensystemen. 
Wir ¡wollen nun einige besondere Klassen von Ribaucourschen 
Strahlensystemeu betrachten. 
Es gehören hierher die isotropen Kongruenzen (§ 144, S. 268). 
Man sieht nämlich sofort ein, daß die isotropen Kongruenzen die 
jenigen speziellen Ribaucourschen Kongruenzen sind, deren 
erzeugende Fläche eine Kugel ist. 
Ihre analytische Darstellung ergibt sich am einfachsten, wenn 
man berücksichtigt, daß die Haupttangentenkurven der Mittel fläche 
einer isotropen Kongruenz reell sind (§ 164) und einem konjugierten 
System mit gleichen Invarianten, d. h. einem Isothermensystem auf 
der Kugel entsprechen. Gehen wir umgekehrt von einem beliebigen 
Isothermensystem auf der Kugel aus, so finden wir aus den Gleichungen 
zum Schlüsse des § 164, S. 308, mittels Quadraturen die allgemeinste 
isotrope Kongruenz oder, was auf dasselbe hinauskommt, die allgemeinste 
unendlich kleine Verbiegung der Kugel. 
1) Wir sehen, daß die am Schlüsse des vorigen Paragraphen angeführte 
Eigenschaft, daß das konjugierte System (m, v) auf der Mittelfläche eines Ribau- 
courschen Strahlensystems gleiche Invarianten besitzt, auch sofort aus der 
Gleichung (25) folgt, da ^ ist. 
' ° dv du