§ 169. Anwendungen der zweiten Methode. 
Zweitens untersuchen wir, ob es möglich ist, eine Fläche unend 
lich wenig so zu verbiegen, daß ihre Hauptkrümmungsradien sich nicht 
ändern. Da sich ja bei jeder Verbiegung die Totalkrümmung nicht 
ändert, so braucht nur die Bedingung, daß sich auch die mittlere 
Krümmung nicht ändern soll, hinzugefügt zu werden. Werden die 
Krümmungslinien als Parameterlinien gewählt, so lautet die soeben an 
gegebene Bedingung (nach S. 104, (18)): 
Ed" + Gd = 0. 
Sie liefert, mit (27) (vgl. S. 101, (14)): 
E d" + - d = 0 
r 2 r t 
kombiniert, und unter Ausschluß des Falles der Kugel die Gleichungen: 
d = d" = 0. 
Aus den Gleichungen (28*) ergibt sich sodann: 
2 * _A 
2 j 1 2 
du & \yeg — f 2 J 
s los ( ■' i 
l 2 
— _ 2 ( 1 2 
dv ° \yEG--F 2 ) 
l i 
und als notwendige und hinreichende Bedingung für die gesuchte Ver 
biegung erhalten wir: 
A| 12 l = JL l 12 l 
du 1 1 ) dv \ 2 I 
§ 169. Anwendungen der zweiten Methode. 315 
genügen, so ergibt sich: 
¿Hogl 2l>f2 2) dlogl 2B"fll\ 
~d*T = W \ 1 I ’ ~~ B l 2 ) 
oder infolge der Gleichungen (25), § 69, S. 134: 
d log l _ 9 i 1 2 1 ' d log l __ 9 i 1 2 |' 
du * l 2 J ? dv Z \ 1 f ’ 
i l2}' ^i2)' 
1 | , | 2 J für das Liuienelement der Kugel be 
rechnet sind. 
Die fragliche Verbiegung ist demnach möglich, wenn 
JL i 12 l'= A / 12 l' 
du 1 1 J dv \ 2 ) 
ist, was wieder den Satz in § 163 liefert.