316 Kap. 11. Unendl. kleine Yerbiegg. d. Flächen u. Entspr. durch Orthog. d. EI. 
oder mit Rücksicht darauf, daß F = 0 ist: 
= 0. 
du dv 
Dieses besagt nach S. 71, daß die Krümmungslinien u, v ein Isother 
mensystem bilden. Wir haben also den von Weingarten angegebenen 
Satz: Damit eine Fläche einer unendlich kleinen Verbiegung 
unterworfen werden kann, bei der sich ihre Hauptkrümmungs 
radien nicht ändern, ist es notwendig und hinreichend, daß 
ihre Krümmungslinien ein Isothermensystem bilden. 
Schließlich wollen wir noch die Frage nach den unendlich kleinen 
Verbiegungen einer beliebigen Liuienfläche S nach dieser Methode 
behandeln. 
Als Parameterlinien auf S wählen wir die Erzeugenden v und die 
Haupttangentenkuryen u der zweiten Schar und haben dann: 
D-D"-0, jV} = 0. 
Gleichung (27) ergibt; d' = 0, und die Gleichungen (28) gehen über in: 
dd" 
du 
d" 
Dieses System läßt sich offenbar durch Quadraturen integrieren. Da 
aber die Bestimmung der Haupttangentenkurven der zweiten Schar 
einer Linienfläche im allgemeinen die Integration einer Riccatischen 
Differentialgleichung (nach § 120, S. 227) erfordert, so haben wir: Die 
Bestimmung der unendlich kleinen Verbiegungen einer be 
liebigen Linienfläche läßt sich auf die Integration der Riccati 
schen Differentialgleichung ihrer Haupttangentenkurven und 
darauffolgende Quadraturen zurückführen. 
Sind insbesondere die Haupttangentenkurven der Linienffäche be 
kannt, so werden also alle unendlich kleinen Verbiegungen der Fläche 
durch Quadraturen bestimmt.