§ 181. Zurückführung der Bestimmung auf eine Riccatische Gleichung. 339 
§ 181. Zurückführung ihrer Bestimmung auf eine Riccatische 
Gleichung. 
Zum Beweise des angeführten Satzes nehmen wir eine Fläche S 
der Klasse (40) und bestimmen den Winkel <3 durch die Gleichungen 
(39), (39*) die integriert 
(41) 
tang| 
qp [u) -f- k 
'ip (v) — k 
} 
wo li eine willkürliche Konstante ist, ergehen. Wir erteilen in dieser 
Gleichung Je einen festen Wert und wollen dann beweisen, daß oo 1 
solche W-Systeme konstruiert werden können, deren einer Brennmantel S 
ist und deren zweiter Brennmantel S' in jedem entsprechenden Punkte 
dasselbe Krümmungsmaß wie S hat. 
Bei diesen Strahlensystemen ist infolge der Gleichung (24), S. 326, 
die Entfernung der Brennpunkte 
Ö = q sin 6. 
Wir betrachten nun in jedem Punkte von S die Richtungen der Krüm 
mungslinien, deren Richtungskosinus wir mit X 1} Y lf Z x \ X 2 , Y 2 , Z 2 
bezeichnen. Auf der Bildkugel sind nach S. 282 diese beiden Richtungen 
die Halbierungslinien der Winkel zwischen den Parameterlinien u, v- 
es gelten daher die in § 154, S. 284 abgeleiteten Formeln, die wir 
der größeren Klarheit halber hier nochmals zusammenstellen 1 ): 
“Tr) 
«IM 
II 
Ye ^sin 
f^ + cosfx,) 
dx 
’ dv 
=Vg{- sinlz, + 
Si 
COSj 
(42). 
dX, _ 
du 
-ÄX 2 
—Ve sin ~X, 
dX, 
dv 
= BX 2 
+Vg sin 
£1 y 
J A > 
dX,_ 
du 
ÄX, 
~Ye cos jX, 
dJK, 
dv 
= - BX l 
— Yg cos 
S2 y 
¥ A 
(43) 
• -: 
sin Sl 
== _yi_ 
Qv 
1 dSl 
2 du , 
n+l/fl 1 /)' 
sin Sl 
.1 
1 
11 
1 dSl 
2 dv 
1) Die obigen und die umstehenden Formeln beziehen sich auf das Quadrat 
des Linienelements der Bildkugel 
ds’- = edu i -\- 2 cos Si j/e# du dv g dv s , 
und mit - , — sind die geodätischen Krümmungen der sphärischen Kurven u, v 
bezeichnet.