§ 181. Zurückführung der Bestimmung auf eine Eiccatische Gleichung. 341 
berücksichtigt, die aus der Liouyillesehen Formel für das Krümmungs 
maß (S. 150) folgt, und werden auch die beiden Gleichungen: 
d_ 
du 
d_ 
dv 
1 — COS(7\ r~ 1 — COS ff fl 2i ' /- 
\V9—s ) = ye cos Sì—7 . — Va 
\ ' * Sin G ) r sin G l 1 J r * 
- 1 -f- COS Gl 12 
sin a 
( V - 1 + ™* _ y- cos a 1 + 0«. j 1ä j■_ y- 1-co» ,12,' 
y Sin G ) ' * Sin G l 2 J ' Sin G { 1 J 
benutzt, die sich ohne Schwierigkeit aus den Gleichungen (a), S. 338, 
ergeben, so stellt sich heraus, daß die Integrabilitätabedingung für die 
Gleichungen (47) identisch erfüllt ist. 
Die Gleichungen (47), die durch eine totale Differentialgleichung 
für tang vom Riccatisehen Typus ersetzt werden können, besitzen 
also eine Lösung cp mit einer willkürlichen Konstanten. 
Es erübrigt nun noch nachzuweisen, daß für einen beliebigen von 
den Werten cp, die diesen Gleichungen genügen, das konstruierte Strahlen- 
system zur TF-Klasse gehört, denn dann folgt aus dem Satze S. 326 
unmittelbar, daß das Krümmungsmaß von S' gleich .demjenigen von 
S ist. Es braucht also nur nachgewiesen zu werden, daß auch auf 
der Fläche S' die Kurven u, v Haupttangentenkurven sind, d. h. daß 
die beiden Gleichungen: 
dx _ o S^ldX' dx 0 
du du ’ dv dv 
bestehen. Wird die Rechnung ausgeführt, so ergibt sich, daß die Glei 
chungen genau in die beiden Gleichungen (a), S. 338, die 6 bestimmen, 
übergehen. 
Wir bemerken schließlich, daß wir wegen der bekannten Eigenschaften 
der Ri ccati sehen Differentialgleichung nur eine partikuläre Lösung 
der Gleichungen (47) zu kennen brauchen, um die allgemeine Lösung 
mittels Quadraturen zu finden. Hiernach gilt für die neu abgeleiteten 
Flächen der Klasse (40) dasselbe wie für die Ausgangsfläche, und es 
sind nur Quadraturen erforderlich, um das Verfahren unbegrenzt oft 
anzuwenden. Können wir ferner für die Ausgangsfläche alle unendlich 
kleinen Verbiegungen bestimmen, so gilt nach dem Satze von Moutard 
das nämliche für alle abgeleiteten Flächen. Dieses ist nun eben der 
Fall, wenn wir als Ausgangsfläche S die Pseudosphäre, die Minimal- 
Schraubenregelfläche oder das gleichseitig - hyperbolische Paraboloid, 
die Vertreter der drei vorhin betrachteten Typen von Flächen (40), 
wählen 1 ). 
1) Hinsichtlich der weiteren Ausführung vergleiche man die Abhandlung 
des Verfassers in den Annali di Matematica, 2. Serie, 18. Bd., 1890.