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Kap. 13. Die normalen Kreissysteme. 
wo u, v zwei willkürliche Parameter sind, deren einzelne Werte u 0 , v 0 
eine Kurve C 0 der Schar eindeutig bestimmen, während die Variable t 
dann die Punkte der Kurve festlegt. 
Wir wollen nun annehmen, daß es eine zu den Kurven orthogo 
nale Fläche U gebe, und es sei 
(2) t = t (u, v) 
diejenige Funktion von u, v, die wir, um E zu erhalten, in den Glei 
chungen (1) einsetzen müssen. Durch einen Punkt (£, 77, g) dieser 
Fläche, der den Werten u — u Q , v = v 0 entspricht, geht , die Kurve der 
1 = 1 K, v 0 , t), tj = 77 (u 0 , v Q , t), g = g O 0 , v 0 , t), 
und die Richtungskosinus ihrer Tangente sind proportional 
dr\ 
dj 
dt' 
dV 
dt' 
Nach der Voraussetzung muß also 
(3) 
H di + d £dv+ d àdi 
d t 
dt 
0 
sein, worin drj, dt, aus den Gleichungen (1) zu berechnen sind und 
für t der Wert (2) einzusetzen ist. Nun setzen wir: 
r = V ( d AV U - V d A d A v- 'S 1 VIA 
Zj\dt)’ u Zj dtdu’ v Zl dtdv’ 
dann nimmt die Gleichung (3) die Gestalt an: 
(4) Tdt -j- üdu + Vdv = 0. 
Der gesuchte Wert t muß als Funktion von u, v dieser totalen Diffe 
rentialgleichung genügen. Damit es also eine Schar von Flächen E 
gebe, die zu den Kurven orthogonal sind, ist es notwendig und hin 
reichend, daß die Gleichung (4) unbeschränkt integrierbar sei, d. h. 
daß für alle Werte von t, u, v ihre Integrabilitätsbedingung: 
(5) 
0 
erfüllt sei. Wird diese Bedingung nicht erfüllt, so kann es nur ein 
zelne Flächen geben, die zu den Kurven orthogonal sind; dieses ist 
dann der Fall, wenn die Gleichung (5) für t einen oder mehrere Werte 
liefert, die der Differentialgleichung (4) genügen. 
§ 185. Normale Kreissysteme und Sätze von Ribaucour. 
Wir nehmen nun an, die Kongruenz (1) werde von Kreisen ge 
bildet. Um sie analytisch zu definieren, brauchen wir nur die Koor 
dinaten x lt y X} s i des Kreismittelpunkts, den Radius B und die Lage