§ 185. Normale Kreissysteme und Sätze von Eibaucour. 
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der Kreisebene, d. h. die Ricbtungskosinus des auf sie errichteten Lotes, 
die wir mit a, ß, y bezeichnen wollen, als Funktionen von u, v anzu 
geben. Wird dieses Lot im Mittelpunkt des Kreises errichtet, so nennen 
wir es die Achse des Kreises, und wie sich bald heraussteilen wird, 
müssen wir mit der Betrachtung des normalen Kreissystems diejenige 
des von den Kreisachsen gebildeten Strahlen Systems verbinden. 
In der Ebene des Kreises (u, v) ziehen wir zwei aufeinander 
senkrechte, im übrigen willkürliche Durchmesser und bezeichnen ihre 
Richtungskosinus bezüglich mit cc v ß v a 2 , ß 2 , y v Bezeichnen wir 
noch mit t den Winkel zwischen einem Radius des Kreises (u, v) und 
der Richtung (cc v ß 1} yß), so lauten die Gleichungen (1) in unserem 
: i £ = x 1 + R («! cos t + a 2 sin t), 
(6) = Vx + E (ßx cos t + h sin 0> 
U = e x + B (Vi cos t -f y 2 sin t). 
Unter Berücksichtigung der Beziehungen: 
^ Ui 2 = 1, 
erhalten wir als totale Differentialgleichung (4): 
(7) Sdt + [cos t ^ - sin t 2 + B ^ <t, du + 
+ [cos t ^ K 2 - sin t£«,4 n ^ 0 
Die Integrabilitätsbedingung nimmt hier die Gestalt: 
(8) A -f B sin t -f- G cos t = 0 
an, wo A, B, C Funktionen von u und v allein sind. Es gibt also 
nur dann eine Schar Von oo 1 Flächen, die zu den Kreisen orthogonal 
sind, wenn identisch A = 0 B = 0 C = 0 
ist. Entwickelt liefern diese Bedingungen die folgenden drei Grund 
gleichungen: 
du 
dx t 
(i) 
(ii) 
+2*%-2*%-2*%-2*% 
*{2“&2-%-2''£2'‘%+ii2‘*ii 
CCn "" Q ^ y 
* du 7 
l.2*%]+2* 
dx 1 dH 
du dv 
dx x dB 
dv 
du 
o,