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Kap. 13. Die normalen Kreissysteme. 
Weisen zyklisch sind, diejenigen Ribaucourschen Kongruen 
zen sind, deren erzeugende Flächen Flächen der Klasse(A) sind 
Aus der Gleichung (20) folgt ferner, daß dieses die einzigen 
zyklischen Ribaucourschen Strahlensysteme sind. Unter diesen zykli 
schen Strahlensystemen sind die bemerkenswertesten die Guichardschen, 
deren erzeugende Flächen pseudosphärische Flächen sind und deren 
Developpabeln folglich die beiden Brennmäntel längs Krümmungs 
linien schneiden (§ 157, S. 290). Da für diese Strahlen Systeme | ^ | 
( 1 2 i 
| gleich Null ist, so kann der Winkel <? eine beliebige kon 
stante Größe haben 1 ). Wird insbesondere 6 gleich ~ gesetzt, so liegt 
der Mittelpunkt jedes Kreises des Systems im Mittelpunkt der Achse, 
und sein Radiul ist gleich der halben Entfernung der Brennpunkte. 
Eine weitere Eigenschaft dieser Strahlensysteme folgt aus dem 
allgemeinen Satze yon Ribaucour: 
Auf der Fläche, welche die Ebenen der Kreise eines nor 
malen Kreissystems umhüllt, entspricht den Developpabeln 
des Strahlensystems der Achsen ein konjugiertes System. 
Mit Hilfe der allgemeinen Gleichungen der voraufgehenden Para 
graphen ist dieser Satz leicht zu beweisen. Bezeichnen wir nämlich 
mit W den Abstand der Ebene des Kreises {u, v) vom Anfangspunkt, 
so haben wir: 
W = )> i Xx + Q COS 0, 
und wenn wir die angeführten Gleichungen berücksichtigen, so be 
stätigt es sich in der Tat, daß W der Laplaceschen Gleichung: 
d*W_ 
dudv 
12] dW 
1 j du 
121 dW 
2 J dv 
-FW 
genügt, woraus nach § 73, S. 141, die vorhin angegebene Eigenschaft 
folgt. 
Insbesondere sind bei den unendlich vielen normalen Kreissystemen, 
die sich aus einem Ribaucourschen Strahlensystem, dessen erzeugende 
Flächen zur Klasse (A) gehören, ableiten lassen, die Enveloppen der 
Kreisebenen die Assoziierten der in § 182 betrachteten Flächen S. Ist 
noch spezieller die Fläche S pseudosphärisch, so sind die entsprechenden 
Enveloppen Voßische Flächen. 
1) In betreff der Eigenschaften der zu den Kreisen orthogonalen Flächen 
vergleiche man die Abhandlung des Verfassers in den Annali di Matematica, 
2. Serie, 18. Bd.