i Differential- 
§ 9. Integration der natürlichen Kurvengleichungen. 15 
Wir drücken nun l, m, n durch zwei Winkel ff und cp aus mittels 
der Gleichungen: 
l = sin ff cos cp, m = sin ff sin cp, n = cos ff, 
dann gehen die Gleichungen (10) für ff und cp die beiden simultanen 
Gleichungen: 
d& , sin qp ^ dcp , cotg tt cos qp ( 1 n 
ds + T “ U ’ ds 1 T + q 
Jetzt führen wir als Unbekannte die komplexe Funktion 
ö = cotg y • e'v 1 ) 
sind, und be- 
ein, so folgt aus (11) für 6 die Gleichung: 
/.„n da ia 2 ia i 
ds = _ 2T ~ ~q + 
i 
aus der umgekehrt durch Trennung des reellen und des imaginären 
Teils die Gleichungen (11) folgen. Die Aufgabe, eine Kurve aus 
ihren natürlichen Gleichungen zu bestimmen, läßt sich dem- 
b Werte von s 
nach auf die Integration der Gleichung (12) vom Riccatischen 
Typus zurückführen. 
sbesondere ist 
Nach bekannten Eigenschaften der Gleichungen von diesem Typus 
genügt die Kenntnis einer partikulären Lösung, um durch Quadraturen 
zum allgemeinen Integral zu gelangen. 
Raumpunktes 
md l, V, l" zu 
r die Differen- 
n") genügen, 
Flexions- und 
§ 10. Zylindrische Schraubenlinien. 
Wir wollen die Frenetschen Formeln noch auf das Studium einer 
wichtigen Klasse von Kurven anwenden, die unter dem Namen zylin 
drische Schraubenlinien (Helices) bekannt sind. 
Es werden so diejenigen auf einer beliebigen Zylinderfiäche ge 
zogenen Kurven genannt, welche die Erzeugenden derselben unter kon 
stantem Winkel schneiden. 
Bei der Ausbreitung der Zylinderfläche auf eine Ebene wickelt 
sich die Schraubenlinie in eine Gerade ab, und da sich bei der Ab- 
itegration des 
rom Riccati- 
m von (10) ist 
wicklung die Längendimensionen nicht ändern, so folgt als eine weitere 
charakteristische Eigenschaft der zylindrischen Schraubenlinie, daß sie 
auf dem Zylinder den kürzesten Weg zwischen zwei Punkten desselben 
angibt. 
itanten Faktor 
item entstellt), 
Wir legen die z-Achse parallel zu den Erzeugenden des Zylinders 
und haben folglich 
cos y — Const. 
1) Die Bedeutung von ö wird im dritten Kapitel erkannt werden; es ergibt 
sich nämlich a als eine komplexe Veränderliche auf der Kugel.