§ 194. Geschichtlicher Überblick bis auf Meusnier. 
363 
eine geschlossene Kurve C und eine von dieser Kurve begrenzte Fläche S. 
Diese Fläche wird eine Minimalfläche genannt, wenn sie im Ver 
gleich zu allen unendlich benachbarten, von der Kurve C begrenzten 
Flächen den kleinsten Flächeninhalt hat. 
Ist die Gleichung der Fläche S in der gewöhnlichen Form: 
8 = Z{X } y) 
gegeben, so ist der Flächeninhalt von S durch das Doppelintegral 
dargestellt, und man braucht nur die Prinzipien der Variationsrechnung 
anzuwenden, um für z die partielle Diiferentialgleichung: 
d / p 
\yi-f p*+q-. 
V i +p* + <1 
oder: 
(1) 
(1 + q 2 )r — 2pqs -f- (1 P 2 )t = 0 
zu erhalten. 
Die geometrische Deutung der Gleichung (1) ist 1776 von Meus 
nier gegeben worden, der bemei-kte, daß sie der Ausdruck der Eigen 
schaft der Fläche S ist, in jedem Punkte gleiche, aber entgegen 
gesetzte Hauptkrümmungsradien zu haben (vgl. (d), S. 114). Alle 
Flächen nun, die der letzteren Bedingung genügen, werden Minimal - 
ilächen genannt. Diese Bezeichnung ist in der Tat dadurch gerecht 
fertigt, daß jeder solchen Fläche hei passend gewählter Begrenzung 
die Eigenschaft des Minimums, von der wir ausgegangen sind, zu 
kommt. 
Von Meusnier rührt auch die Entdeckung der beiden zuerst be 
kannt gewordenen Minimalflächen her, nämlich des Katenoids und der 
Schraubenregelfläche. Sie ergeben sich unmittelbar, wenn man Lösungen 
der Gleichung (1) von der Form: 
= + if) oder £ = /■(!) 
z 
sucht. 
§ 195. Neuere Untersuchungen über Minimalflächen. 
Monge war der erste, der (1784) die vollständige Lösung der 
Gleichung (1) angab; aber die für die Anwendungen wenig geeignete 
Form, in der die Integralgleichungen angegeben waren, ließ es lange 
Zeit zur Entdeckung anderer reeller Minimalflächen als der beiden