420 Kap. 15. Das Plateausche Problem und die Schwarzsche Minimalfiäche. 
Die Gruppe G enthält als ausgezeichnete Untergruppe 
vom Index 24 die Translationsgruppe F. 
Insbesondere ergibt sich hieraus die eigentliche Diskontinuität der 
Gruppe G, also die Eigenschaft der Minimalfiäche S', in dreifach periodischer 
Weise den Raum gleichmäßig zu durchsetzen. 
§ 231. Die zweite Variation des Flächeninhalts einer Minimalfläche. 
Am Schlüsse dieser Betrachtungen über die Minimalflächen kehren 
wir zu der Minimumaufgabe, von der wir ausgegangen sind, zurück, 
um die wichtigen Untersuchungen von Schwarz über die zweite 
Variation des Flächeninhalts eines Minimalflächenstücks in ihren 
Grundzügen mitzuteilen 1 ). Aus ihnen folgt insbesondere, daß, wenn in 
jedem Punkte einer Fläche die Summe der Hauptkrümmungsradien 
gleich Null ist, jedes in geeigneter Weise umgrenzte Stück der Fläche 
bezüglich der fest gedachten Begrenzung die Minimumeigenschaft, die 
zu seiner Definition benutzt wurde, wirklich besitzt. 
Es seien S eine auf ihre Krümmungslinien u, v bezogene Minimal 
fläche, (?S 2 = l (ß u 2 _|_ 
das Quadrat ihres Linienelements, also 
ds 2 = ~ (du 2 + dv 2 ) 
dasjenige des Linienelements der Bildkugel, und 
r 2 = 1, r x — —- X 
die Hauptkrümmungsradien der Minimalfläche. 
Wir betrachten ein von einer Randlinie C begrenztes Stück von 
S und ein S unendlich benachbartes, von derselben Randlinie begrenztes 
Flächenstück S'. Auf jeder Normale von S schneidet die Fläche S' 
ein unendlich kleines Stück ab, das wir mit sip bezeichnen wollen, wo 
s eine unendlich kleine Konstante und xp eine Funktion von u und v 
ist, die wir samt ihren ersten partiellen Differentialquotienten in dem 
ganzen betreffenden Gebiet von S als endlich und stetig voraussetzen 
und die nur längs des Randes C gleich Null werden soll. 
Wir vergleichen nun das von C eingeschlossene Flächenstück von 
S mit dem entsprechenden von S', wobei wir nur die Glieder berück 
sichtigen, die s in der ersten und zweiten Potenz enthalten. Für die 
Koordinaten des Punktes P' von S', der einem Punkte P von S ent 
spricht, haben wir offenbar die Ausdrücke: 
x' — X + £1pX, y'=*y + £tY, e'— 0 £tyZ. 
1) Werke, 1. Band, S. 151 u. f.