§ 231, § 232. Die zweite Variation des Flächeninhalts einer Minimalfläche. 421 
Berechnen wir die Koeffizienten E', F', G' des Quadrats des 
Linienelements von S', so erhalten wir unter Berücksichtigung der 
Gleichungen: 
l dx 
l dv 
dX _ 1 iE ^ 
du l du' dv 
usw. 
die Werte: 
F'= c2?_! 
du dv ’ 
Demnach ist: 
Die Differenz der beiden Flächenräume, öS = S'— S, ist daher bis auf 
unendlich kleine Größen von höherer als der zweiten Ordnung durch 
(13) 
gegeben, wo das Doppelintegral über das in Rede stehende Gebiet von 
S oder, was dasselbe ist, über das entsprechende Gebiet auf der Kugel 
zu erstrecken ist. Dieses ist der von Schwarz für die zweite Variation 
des Flächeninhalts eines Minimalflächenstücks abgeleitete Ausdruck, aus 
dem sich mittels einiger Hilfsbetrachtungeu die bemerkenswerten Folge 
rungen ergeben, zu deren Ableitung wir nun übergehen 1 ). 
§ 232. Untersuchung der zweiten Variation. 
Wir betrachten eine beliebige andere Minimalfläche, die der Fläche 
S durch Parallelismus der Normalen zugeordnet sein möge, und es 
sei 2J dasjenige Stück dieser neuen Fläche, welches dem betreffenden 
Stück von S entspricht. Dann sind die beiden Flächenstücke auf ein 
und dasselbe Stück der Kugelfläche, das wir mit <3 bezeichnen wollen, 
abgebildet. Bedeutet W den Abstand der Tangentialebene des Stückes 
S vom Koordinatenanfangspunkt, so ist W ein Integral der Gleichung 
(S. 140, (36)); 
(14) 
¿¡W+2W= 0/ 
1) Die folgenden Entwicklungen im Texte beziehen sich übrigens (in der 
Sprache der neueren Variationsrechnung) nur auf das sogenannte schwache 
Minimum; zur Feststellung des eigentlichen Minimums sind weitere und ein 
gehendere Untersuchungen erforderlich. Der Leser findet sie im angeführten Werke 
von Schwarz sowie bei Kneser, Lehrbuch der Variationsrechnung, 8. Abschnitt. 
Braunschweig, 1900.