§ 233. Satz von Schwarz über die zweite Variation. 
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wirklich dann besitzt, wenn es, von einem passend gewählten Punkte 
des Raumes aus gesehen, als scheinbaren Rand eine Linie hat, die ganz 
außerhalb des betrachteten Gebietes liegt. 
Hinsichtlich des sphärischen Bildes ö dagegen können wir sagen, 
daß die Minimumeigenschaft sicher dann vorliegt, wenn es ein Integral 
W der Gleichung (14*) gibt, das in dem ganzen Gebiet <?, einschließlich 
des Randes, positiv ist. Beachten wir nun, daß z. B. 
X, F, X 
partikuläre Integrale der Gleichung (14*) sind, so sehen wir speziell, 
daß, wenn das Gebiet <? ganz innerhalb der Fläche einer Halbkugel 
liegt, die obige Bedingung erfüllt ist. Folglich besitzt jedes Stück 
einer Fläche mit der mittleren Krümmung Null, dessen sphärisches 
Bild innerhalb einer Halbkugelfläche liegt, die Eigenschaft, daß sein 
Inhalt ein Minimum ist. 
Schließlich können wir das allgemeine Integral der Gleichung (14*) 
angeben, indem wir die komplexe Veränderliche 
t = a + i ß 
auf der Kugel einführen (S. 79), wonach sie die Form: 
annimmt. Da nun W die Entfernung der Tangentialebene einer Mini- 
malfiäche vom Anfangspunkt ist, so finden wir, wenn wir die Koordi 
naten des Berührungspunktes durch die Weierstraßischen Gleichungen 
(11), S. 367, ausgedrückt denken und 
W = Xx -f Yy + 
berechnen, als allgemeines Integral der Gleichung (15) unter Weg 
lassung des Zahlenfaktors 2: 
wo f{r) eine willkürliche Funktion der komplexen Veränderlichen r 
bedeutet.