Kapitel XYI. 
Pseudosphärische Geometrie. 
Konforme Abbildung der pseudosphärischen Flächen auf die Halbebene. — Dar 
stellung der Bewegungen (Verbiegungen) der Fläche in sich durch lineare Sub 
stitutionen der komplexen Veränderlichen. — Andere konforme Abbildung. — Geo 
dätische Parallelen und Parallelitätswinkel. — Pseudosphärische Trigonometrie. 
— Überblick über die nichteuklidische Geometrie. — Beltramische Abbildung. — 
Flächen, die auf die Ebene geodätisch abbildbar sind. — Für eine gegebene 
pseudosphärische Fläche läßt sich die Integration der Differentialgleichung 
der geodätischen Linien auf Integration einer Eiccatischen Differentialgleichung 
zurückführen. 
§ 234. Zweidimensionale Mannigfaltigkeit konstanter Krümmung. 
Wir wollen uns nun mit den Flächen konstanter Krümmung be 
schäftigen und beginnen unsere Untersuchungen mit der Ableitung der 
Grundlagen ihrer Geometrie in dem in § 92, S. 177, festgesetzten Sinne. 
Die Geometrie der Flächen verschwindender oder positiver kon 
stanter Krümmung fällt mit der gewöhnlichen ebenen oder sphärischen 
Geometrie zusammen. Wir können und werden uns also in dem vor 
liegenden Kapitel auf die Behandlung der Geometrie auf den pseudo- 
sphärischen Flächen, oder, wie wir sagen, auf die der pseudosphäri 
schen Geometrie beschränken. 
Zugrunde legen wir unsern Untersuchungen eine konforme Ab 
bildung der pseudosphärischen Flächen auf die Halbebene, die sich bei 
den wichtigen analytischen Untersuchungen von Klein und Poincare 
über die automorphen (Fuchsischen) Funktionen als sehr frucht 
bringend erwiesen hat. 
Wir definieren das Linienelement der pseudosphärischen Fläche 
durch die Gleichung (S. 188): 
2 u 
(1) ds 2 = du 2 + e R dv 2 , 
worin R der Radius der pseudosphärischen Fläche ist. Bei diesen all 
gemeinen Untersuchungen müssen wir von jeder besonderen Flächenform,