§ 236. Bewegungen dargestellt durch lineare Substitutionen. 
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wo im Nenner das obere oder das untere Vorzeichen zu wählen ist, je 
nachdem die beiden Punkte m x , m 2 des Bildkreises auf derselben oder 
auf verschiedenen Seiten des höchsten Punktes dieses Kreises liegen. 
§ 236. Darstellung der Bewegungen der Fläche in sich durch lineare 
Substitutionen der komplexen Veränderlichen. 
Wir setzen nun: 
U 
(o = x iy = v iBe R 
und denken uns die Werte der komplexen Veränderlichen co auf der 
pseudosphärischen Fläche ausgebreitet, so daß jeder Wert von co 
mit positiver Ordinate einen Flächenpunkt liefert, und umgekehrt. 
Dann können wir einen Flächenpunkt direkt mit dem zugehörigen 
Wert der komplexen Veränderlichen co bezeichnen. Im siebenten 
Kapitel haben wir gesehen, daß jede pseudosphärische Fläche dreifach 
unendlich viele Arten von Abwicklungen auf sich selbst oder Be 
wegungen (Verbiegungen) in sich gestattet (S. 187), und nun stellen 
wir eine Frage, wie wir sie bereits für die Kugel gestellt hatten (Kap. III, 
§ 45), nämlich die Frage, wie sich eine solche Bewegung der Fläche 
in sich, bei der die Punkte co in die Punkte co' übergehen mögen, ana 
lytisch darstellen mag. Die Antwort ist der früher für die Kugel 
gefundenen ganz analog, ja in gewissem Sinne sogar noch einfacher, 
wie wir sehen werden. 
Da die von co und co' beschriebenen Figuren einander kongruent 
sind, so ist co eine Funktion von co. Denn der Fall, daß co eine 
Funktion der konjugierten Größe co 0 ist, wird ausgeschlossen, wenn wir 
annehmen, daß die Verbiegung stetig erfolge und also Winkeltreue 
ohne Änderung des Sinnes stattfinde. Es ist also co' eine Funktion 
von co, die zwar zunächst nur für die Werte von co in der positiven 
Halbebene definiert ist; da aber co' für reelles co auch reell ist, denn 
die unendlich fernen Punkte der Fläche bleiben bei der Bewegung 
unendlich fern, so ist co' für alle Werte von co in der negativen Halb- 
ebene durch die Bestimmung gegeben, daß co' für den zu co konjugierten 
Wert co 0 den zu co' konjugierten Wert co 0 ' annehmen soll. Nun brauchen 
wir nur noch zu beachten, daß jedem Werte von co ein einziger von