428 
Kap. 16. Pseudospliärische Geometrie. 
co' entspricht und umgekehrt, um daraus schließen zu können, daß c0' 
eine lineare Funktion von co ist: 
/r\ ' a<a + ß 
(5) co = p-f • 
v ' yco -j- d 
Da ferner für reelles to auch co' reell ist, so sind a, ß, y, d reell (ab 
gesehen von einem gemeinsamen Faktor, der weggelassen werden kann). 
Da weiterhin die Ordinate von co' zugleich mit der Ordinate von co 
positiv ist, so ist die Determinante aö — ßy positiv und kann ohne 
weiteres gleich + 1 angenommen werden. 
Drücken wir nun das Quadrat des Linienelements (1) mittels der 
komplexen Veränderlichen co und der dazu konjugierten Veränderlichen 
co 0 aus, so erhalten wir: 
ds 2 = — rs da da,. 
(“ — a o y 0 
Auf Grund dieser Gleichung läßt sich sofort nachweisen, daß die lineare 
Substitution (5) mit reellen a, ß, y, d das Linienelement in sich trans 
formiert. Demnach haben wir das Ergebnis: 
Die Bewegungen der pseudosphärischen Fläche in sich 
werden durch die auf die komplexe Veränderliche co ange 
wandte lineare Substitution mit reellen Koeffizienten: 
(6) 
dargestellt. 
§ 237. Bewegungen erster Art. 
Für jede Substitution (6) gibt es zwei Werte von co, die fest 
bleiben; es sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung: 
yco 2 (d — d) co — /3 = 0. 
0) 
Nun können, je nach dem Vorzeichen der Diskriminante; 
(d — d) 2 + 4 ßy = {a + d) 2 — 4, 
drei verschiedene Fälle eintreten. 
1) (a -f- d) 2 < 4. Die Wurzeln der Gleichung (7) sind konjugiert 
komplex; die eine liegt in der positiven, die andere in der negativen 
Halbebene. Erstere stellt einen reellen und im Endlichen gelegenen 
Punkt P der Fläche dar, der bei der Bewegung fest bleibt. In diesem 
Falle besteht die Bewegung, die eine elliptische genannt wird, in 
einer (mit Verbiegung verbundenen) Rotation um P. 
2) (a + d) 2 = 4. Die Wurzeln der Gleichung (7) sind reell und 
fallen zusammen. Dann bleibt ein einziger Flächenpunkt im Unend 
lichen fest, und die Bewegung wird eine parabolische genannt.