§ 267. Unterscheidung der drei Gestalten der Meridiankurye. 483 
umhüllen auf S zwei Büschel von geodätischen Parallelen. Wir fassen 
diejenige völlig bestimmte geodätische Linie g ins Auge, welche beiden 
Büscheln angehört. Bezeichnen wir mit u die geodätische Entfernung 
eines beliebigen Punktes M auf S von g, so können wir das Linien 
element von S auf die hyperbolische Form bringen, also setzen: 
ds 2 = du 2 -f- cosh 2 l ~dv % . 
IX 
Für den Parallelitätswinkel a bezüglich M und der geodätischen Linie 
g haben wir (S. 436): u 
cos a = tgh -ß • 
Die Strecke MM 0 steht senkrecht auf der von M ausgehenden Kurve 
u = Const.; ihre Länge ist 
M M 0 = — = B coth ~ 
u cos a K 
Dies ist gerade der Radius der geodätischen Krümmung der Kurve 
u — Const., und damit ist der Satz bewiesen. 
Ferner hat das Quadrat des Linienelements von S 0 die Form 
(S. 261): 
die durch den Ansatz; 
R 
r = 
in: 
übergeht und somit zur logarithmischen Rotationsfläche oder 
zum Logarithmoid mit der Meridiankurve: 
gehört. i-iilogr 
Die erhaltenen Ergebnisse fassen wir zusammen in dem Satze: 
Sind zwei pseudosphärische Flächen S 1 und S 2 mit ein 
und derselben pseudosphärischen Fläche S durch zwei ent 
gegengesetzte Bäcklundsche Transformationen B a und B_ a ver 
knüpft, so schneiden sich die Normalen in zwei entsprechen 
den Punkten M l} M 2 auf S ± bzw. S 2 in einem Punkte Jf 0 , 
dessen Ortsfläche eine auf eine Rotationsfläche abwickelbare 
pseudosphärische Fläche S 0 ist. 
Diese Rotationsfläche ist für 6 = 0 das Logarithmoid, für 
reelles o(4=0) das verkürzte Katenoid, für rein imaginäres 6 
das hyperbolische Sinusoid.