484 Kap. 17. Die pseudosphärischen Flächen u. die Bäcklundsche Transformation. 
Ferner berührt in jedem Falle die um M 0 mit dem Radius 
T — M 0 M l — M 0 3I 2 beschriebene Kugel die beiden pseudosphärischen 
Flächen S if S 2 in M x bzw. M r Diese Flächen sind demnach die 
beiden Mäntel der Enveloppe dieser oo 2 -Kugelschar. Endlich ist wegen 
der voraufgehenden Gleichungen die Länge des Radius T dieser Kugeln 
gegeben durch: 
T = r 
für das Logarithmoid, 
T = R sin <5 sinh Jr = ]/R 2 sin 2 6 — r 2 
für das verkürzte Katenoid, 
T = R sinh a cosh ~ = "j/JÜ 2 sinh 2 a + r 2 
für das hyperbolische Sinusoid. 
§ 268. Liesche Transformation der pseudosphärischen Flächen. 
Am Schlüsse dieses Kapitels betrachten wir im Zusammenhänge 
mit der Komplementär- und der Bäcklundschen Transformation der 
pseudosphärischen Flächen noch eine Transformation anderer Art, die 
Liesche Transformation. 
Unter Zugrundelegung der Haupttangentenkurven a, ß entspricht, 
wie wir wissen, jede pseudosphärische Fläche einer Lösung 0- der par 
tiellen Differentialgleichung: 
Die Liesche Transformation beruht nun auf der unmittelbar ein 
leuchtenden Tatsache, daß aus einer bekannten Lösung ff(a, ß) von (D) 
sich eine neue mit einer willkürlichen Konstanten Tt behaftete Lösung 
@(a, ß) in der Weise ergibt, daß 
gesetzt wird, und dies läßt sich offenbar auf jede beliebige Differential 
gleichung von der Form: 
verallgemeinern. Der Lösung ß) entspricht eine pseudosphärische 
Fläche S] der neuen Lösung & wird eine neue, gestaltlich völlig be 
stimmte pseudosphärische Fläche entsprechen, die als die Liesche 
Transformierte der Fläche S bezeichnet werden möge. Die Liesche 
Transformation führt von einer pseudosphärischen Fläche nur auf oo 1