§ 268. Liesche Transformation der pseudosphärischen Flächen. 485 
neue pseudosphärische Flächen, die bezüglich dieser Transformation 
offenbar eine Gruppe bilden. Während die Komplementär- und die 
Bäcklundsche Transformation sich durch eine wirkliche geometri 
sche Konstruktion im Raume (durch W-Strahlensysteme) ver- 
anschaulichen lassen, ist dies für die Liesche Transformation nicht der 
Fall; ihre Bedeutung ist eine rein analytische. Trotzdem ist sie in 
einer bemerkenswerten Weise, auf die schon Lie seihst hingewiesen 
hat, mit der Komplementär- und der Bäcklund sehen Transformation 
verknüpft. Um dies einzusehen, bringen wir die Konstante Je auf die 
Form: 
1 -(- sin G 
COS 6 ’ 
so daß die Transformation in dem Übergänge von der Lösung &(a, ß) 
der Differentialgleichung (D) zu der neuen Lösung: 
besteht. Bezeichnen wir die Transformation selbst mit L a , so ist die 
inverse Transformation La 1 , die dem umgekehrten Übergange von 0 
zu ff entspricht, einfach L_ a . Nun führen wir in den Gleichungen (17), 
§ 255, S, 459, für die Bäcklundsche Transformation B a die Parameter 
a, ß der Haupttangentenkurven als neue Koordinaten ein, indem wir 
setzen: 
и — v = 2a, и -f- v = 2/3; 
dadurch gehen sie über in; 
d (ffj -f- ff) 1 — sin G 
dß COS G 
sin (ff 1 — ff). 
COS G 
Nun setzen wir voraus, daß man von ff zu cp mittels einer Kom 
plementärtransformation JB 0 gelange, so daß 
ist. Mittels der Lieschen Transformation L a können wir von den Lö 
sungen ff, cp zu folgenden zwei neuen Lösungen gelangen: