§ 296. Entsprechen der Haupttangentenkurven. 
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§ 297. Zweiter Beweis für das Entsprechen der 
Hanpttangentenkurven. 
Für die Eigenschaft der Transformationen B k , daß sie Haupt 
tangentenkurven wieder in Hanpttangentenkurven überführen, wollen 
wir nun einen zweiten Beweis erbringen, der zugleich den Vorteil hat, 
daß er auf weitere wichtige Eigenschaften dieser Transformationen führt. 
Auf der Ausgangsbiegungsfiäche S des Paraboloids P 0 betrachten 
wir eine beliebige Haupttangentenkurve a. Längs ihr haben wir die 
Beziehungen (§ (53, S. 121): 
, YEG — F*dv 
q ds’ 
(62) 
T l h'G — F* du 
q ds’ 
,,dv 
ds 
wo die oberen Vorzeichen für eine linksgewundene, die unteren für 
eine rechtsgewnndene Haupttaugentenkurve gelten. Auf S wenden wir 
eine Transformation B k an, und es sei S i eine Transformierte, die 
jenige Kurve auf S v die der Kurve a auf S entspricht. Die Funktion 
k{ii, v) ist längs a eine Funktion des Bogens s dieser Kurve, und es ist; 
vv #w {J IÄJ {J IAJ U 
ds du ds dv ds’ 
folglich wegen der Differentialgleichungen (I), S. 533: 
Da jetzt: 
l/EG — F* __ 2 Yp q 
YH 
ist, so ergibt sich aus (62): 
J) d u _l ])' d v _ -f- 2 VpQ dv 
ds ' ds YH ds’ 
und folglich: 
dv 
ds 
ds 
TcH L\ ds ' ds) 
Indem wir die beiden Fälle einer links- und einer rechtsgewundenen 
Haupttangentenkurve trennen, erhalten wir demnach einfach: 
(63) 
di _ 2Ypq jjd v 
Hi = kH~ Ü ~d~s