554 Kap. 19. Transform. B k d. auf das hyperbolische Paraboloid abwickelb. Flächen. 
einer linksgewundenen Haupttangentenkurve a, 
dl 2q j r du 
Js = ~kH~ V ds 
längs einer rechtsgewundenen Haupttangeutenkurve a. 
Nun sind längs der Kurve a die Größen u, v, U, V, H bekannte 
Funktionen von s; daher ergibt sich aus (63) oder (63*) für X(s) eine 
Differentialgleichung erster Ordnung vom Riccatisehen Typus, die 
nur von den Ausdrücken für die krummlinigen Koordinaten eines 
beweglichen Punktes von a als Funktionen des Bogens s abhängt. 
Wir nehmen nun an, die Fläche S werde verbogen, und zwar um 
die starr bleibende Haupttangentenkurve a gefaltet (§ 114). Nach den 
obigen Ausführungen bleibt die Differentialgleichung (63) (oder (63*)) 
immer dieselbe; setzen wir also für einen Anfangswert s 0 von s den 
W r ert von X gleich X 0 , so bleibt auch die Funktion X(s) immer dieselbe. 
Nun bestimmt der für X festgesetzte Anfangswert X 0 auch für jede 
besondere Zwischenform von S die transformierte Fläche 8 it auf der 
die Kurve a x , welche der Kurve a entspricht, durch die Gleichungen: 
. , d x . 3 x 
x< = x 4- L ~ h m — usw. 
1 du cv 
gegeben ist, wo der Punkt (u, v) die Kurve a durchläuft. Da nun 
längs a die Größen: 
dx dx 7 
x. ö— , -K-, X y l, m usw. 
’ du ’ dv ’ ’ ’ 
ihre Werte ungeändert beibehalten, ist dasselbe auch mit X x ,y i ,z x der 
Fall. Die Kurve a x bleibt demnach fest, und es bleiben auch, nach 
Größe und Richtung, die Strecken FF X ungeändert, die entsprechende 
Punkte von a und a x verbinden. Da ferner die Tangentialebene an 
S x in F x die Strecke FF X und die Tangente der Kurve a x enthält, so 
bleibt auch diese Ebene fest; also: Die transformierte Kurve a x 
bleibt gleichzeitig mit der Kurve a fest, und die Fläche S x 
behält längs a x immer dieselben Normalen. 
Nun befindet sich unter den Konfigurationen von S mit starrer 
Haupttangentenkurve a auch die S längs a nach dem Chieffischen 
Satze, § 126, umschriebene Linienfläche B. In diesem Falle ist auch 
die transformierte Fläche S x , wie wir wissen, eine Linienfläche R y , auf 
der nach den geometrischen Betrachtungen am Schlüsse des vorigen 
Paragraphen die Kurve a t auch Haupttangentenkurve ist. Daraus 
schließen wir, daß diese Kurve a x überhaupt auf allen Flächen S x Haupt 
tangentenkurve ist, w. z. b. w. 
Wir weisen dann noch daraufhin, daß die Differentialgleichung (63) 
(oder (63*)) die Transformationen B k der Biegungsflächen des Paraboloids 
längs 
(63*)