§ 297. Zweiter Beweis für das Entsprechen der Haupttangentenkurven. 555 
in Transformationen einzelner Kurven, nämlich ihrer Haupttangenten 
kurven, auf löst, ebenso wie die Bäcklundschen Transformationen der 
pseudosphärischen Flächen in Transformationen der Kurven konstanter 
Torsion, die Haupttangentenkurven auf diesen Flächen sind, aufgelöst 
werden können. 
§ 298. Weitere Eigenschaften der Transformationen Hk- 
Wir setzen unsere geometrischen Betrachtungen fort, immer unter 
der Voraussetzung, daß die Fläche S um die starre Haupttangenten 
kurve a verbogen werde. 1 ) Für jede Zwischenform von S betrachten 
wir die Transformierte S v die durch eine nach Größe und Richtung in 
der Schmiegungsebene von a in F gegebene Anfangsstrecke FF X be 
stimmt ist. Wir haben gesehen, daß die Kurve a t auf S t , die der 
Kurve a auf S entspricht, immer dieselbe und auch Haupttangenten 
kurve auf S ± bleibt. Nun wollen wir weiter beweisen, daß die Fläche S x 
ebenfalls um die starre Haupttangentenkurve a t verbogen 
wird. Wird nämlich die Fläche S in einer beliebigen von ihren 
Zwischenformen auf das Paraboloid P 0 abgewickelt, so nimmt die 
Kurve a auf P 0 immer ein und dieselbe Lage a ein, und die von den 
Punkten F von a ausgehenden Strecken FF X erhalten ebenfalls, ein 
und dieselben Lagen; in den Endpunkten F berühren sie P 0 , und ihre 
anderen Endpunkte F x liegen auf dem konfokalen Paraboloid P k , auf 
der sie eine feste Kurve a t bilden. Aus dem durch die Ivorjsche 
Verwandtschaft gegebenen Abwicklungsgesetz folgt, daß bei der Ab 
wicklung von S t auf P 0 die Kurve a v immer ein und dieselbe Lage 
auf P 0 einnimmt, diejenige nämlich, welche bei der Ivory sehen Ver 
wandtschaft der Kurve cc x auf P k entspricht. 2 ) Wir haben somit den Satz: 
Wird der erste Brennmantel S eines unserer TF-Strahlen- 
systeme um die starre Haupttangentenkurve a verbogen und 
bleibt gleichzeitig eine von einem Punkte von a ausgehende 
vorgegebene Pokalstrecke fest, so verbiegt sich auch der 
zweite Brennmantel S x um die entsprechende starr bleibende 
Haupttangentenkurve a x . 
Ein bemerkenswerter Zusatz zu diesem Satze ergibt sich aus der 
Betrachtung derjenigen speziellen Biegungsform von S, welche durch 
die der Fläche S längs der Kurve a nach dem Ghieffischen Satze 
1) Hinsichtlich der Verbiegungen einer Fläche mit starrer Haupttangen ten- 
knrve s. Kap. VII, § 114. 
2) Mit anderen Worten: Die Abwicklungsformeln (50), S. 544, ordnen ein 
und demselben Punkte der Kurve immer ein und denselben Punkt des Para- 
boloids P 0 zu.