556 Kap. 19. Transform. B k d. auf das hyperbolische Paraboloid abwickelb. Flächen. 
umschriebene Linienfläche R gegeben ist. Dann ist auch die Trans- 
formationsfläche S i eine Linienfläche R i und fällt mit der S t längs a x 
umschriebenen homologen Linienfläche zusammen. Also besteht der Satz: 
Die beiden Linienflächen R, P t , die den beiden Brenn 
mänteln eines unserer JF-Strahlensysteme längs zweier ent 
sprechender Haupttangentenkuryen a, a x umschrieben sind, 
sind ebenfalls die beiden Brennmäntel eines solchen Strahlen- 
systems. 
Eigentlich ergeben sich für jedes Paar entsprechender Haupt 
tangentenkurven a, a x auf diese Weise zwei solche Paare von Linien 
flächen R,R X , je nachdem auf S zur Erzeugung von R die Tangenten 
an den geodätischen Transformierten der ersten oder der zweiten Schar 
von Erzeugenden auf P 0 gezogen werden. 
§ 299. Entsprechen der dauernd konjugierten Systeme auf S und S\. 
Wir haben gesehen, daß jedem konjugierten System auf S ein 
konjugiertes System auf S x entspricht. Nun gibt es unter den kon 
jugierten Systemen auf S ein vollkommen bestimmtes, das dadurch 
gekennzeichnet ist, daß das durch die Abwickelbarkeit ihm entsprechende 
System auf dem Paraboloid ebenfalls konjugiert ist; wir bezeichnen es 
als das dauernd konjugierte System auf S. Es besteht aus zwei 
Scharen von Kurven, die reell oder imaginär sein können, stets aber 
getrennt sind, außer wenn S eine Linienfläche ist, denn dann reduziert 
es sich auf das (doppelt zu zählende) System der Erzeugenden von P. 1 ) 
In jedem Falle gilt der Satz: 
Bei unseren W-Strahlensystemen, deren beide Brenn 
mäntel S, S x auf das hyperbolische Paraboloid abwickelbar 
sind, entsprechen einander auf S und S x die dauernd konju 
gierten Systeme. 
Beweis. Zunächst sind die beiden zweiten Grundformen des 
Paraboloids P 0 und der Fläche S in den Koordinaten u, v: 
2D' 0 dudv bzw. Ddu 2 -f 2D'dudv -f D"dv 2 ; 
infolgedessen ist ihr gemeinsames konjugiertes System, dessen Differen 
tialgleichung sich durch Nullsetzen der Jacobi sehen Kovariante der 
beiden Formen ergibt, bestimmt durch: 
(64) Ddu 2 —D"dv 2 = 0. 
1) Besteht nämlich dieses doppelte System aus zusammenfallenden Kurven, 
so wird es sowohl auf dem Paraboloid als auch auf der Fläche S von Haupt 
tangentenkurven gebildet; da diese auf S auch noch geodätische Linien sind, so 
sind sie gerade Linien.