§ 299. Entsprechen der dauernd konjugierten Systeme. 
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Für die andere Fläche S t ist die zweite Differentialform nach dem 
Satze von der Erhaltung der Haupttangentenkurven proportional der 
Form: 
Ddu 2 -\- 2D'dudv + D" dv 2 . 
Andrerseits sind wegen der Abwickelbarkeit von Sy auf P 0 die 
Transformierten der Geraden von P 0 die Kurven u x = Const., i\ = Const., 
so daß die zweite Grundform von P 0 in den Koordinaten u lf v x pro 
portional dem Produkt du i dv l und demnach in den Koordinaten u, v, 
da v y eine Funktion von X ist {vy = , proportional dem Ausdruck; 
T/d«! , dUidlXn , (du x du x dX\, 1 rdl 7 Ji , 1 
l\ju + jt ai) du + W + jt di) dv \ ■ bi du +Si dv \ 
ist, den wir in der Form: 
Adu 2 2A’dudv -j- A"dv 2 
schreiben, indem wir setzen: 
. /du x du x <H\ dl _ /du t ddl\ dl t /du t du t dl 
A = \dü + W dü) du’ = \du + dl du} dv 1 \dv' dl dv) du ’ 
/du t du t dl 
~~ \ dv ‘ dl dv) dv 
Die Differentialgleichung des S t und P 0 gemeinsamen konjugierten 
Systems (dauernd konjugierten Systems auf Sy) ist demnach; 
i Ddu -f D'dv 
Adu -f A'dv 
oder entwickelt: 
D' du + D"dv 
A'du -f A"dv 
(PA'- D'A)du 2 + (DA"-D"A)dudv + {D'A"~ D''A')dv 2 = 0. 
Wir müssen nun beweisen, daß diese Gleichung mit (64) identisch 
ist, wozu der Nachweis notwendig und hinreichend ist, daß 
M"-P"A = P& 
du t dl\dl ~r~kff idu t , duydl\ dl ^ 
dl dv) dv \du dl du) du 
ist. Werden aber in dieser Gleichung für ^ ihre W erte 
(51), (52), S. 544, 545 eingesetzt, so geht sie über in: 
D (2 Vm U-lH d £) fi - TT (2yS r _ M |i) « _ 0 
I 
und mit Berücksichtigung der Differentialgleichungen (I), S. 533, in: 
D _ * (D’U + D"Yf\ - D" [ M F> - f (DU + D’Tj] ■