§ 301. Weitere Eigenschaften der Ivoryschen Verwandtschaft. 561 
Weise her, daß wir jedem Punkte M x von g x denjenigen Punkt M 2 
von g 2 zuordnen, in dem g 2 die in M x an P 0 gelegte Tangentialebene 
schneidet. Dann durchlaufen die Punkte M x , M 2 , die bei der Ivoryschen 
Verwandtschaft den Punkten M x , M 2 entsprechen, in bestimmter Weise 
die Geraden g x ,g 2 . Nach unseren obigen Ergebnissen besitzt die auf 
diese Weise zwischen den Punkten der vier Geraden g x ,g 2 ] g x , g 2 her 
gestellte Korrespondenz die folgenden Eigenschaften: 
a) Jede Strecke M X M 2 ist gleich der entsprechenden Strecke M X M 2 . 
ß) Diese Strecken berühren P 0 in M x bzw. M 2 . 
y) Die von M x , M x durchlaufenen Teile von g 1} g 1 sind einander 
gleich, und ebenso verhält es sich mit g 2 , g 2 . 
Noch eine weitere wesentliche Eigenschaft ist hervorzuheben, näm 
lich daß die beiden Geradenpaare {g x , g 2 ), (g 1} g 2 ) denselben Winkel 
bilden und entweder absolut gleiche oder bis auf das Vorzeichen gleiche 
Momente haben, je nachdem die Erzeugenden g x , g 2 ein und derselben 
Schar oder verschiedenen Scharen entnommen sind. Um uns hiervon 
zu überzeugen, brauchen wir nur die Gleichungen dieser Geraden an 
zusetzen und die allbekannten Formeln der analytischen Geometrie auf 
sie anzuwenden. 
Alle diese Eigenschaften lassen klar erkennen, daß das Geraden 
paar (g x , g 2 ) nebst seinen Punkten M lf M 2 mit dem Geradenpaar (jg t1 g 2 ) 
und dessen Punkten M lt M 2 zur Deckung gebracht werden kann, und 
zwar vermittelst einer starren Bewegung im ersten Falle (wenn g l und 
g 2 zu derselben Schar gehören), hingegen vermittelst einer Symmetrie 
im zweiten Falle. Übrigens wird dies im nächsten Paragraphen durch 
die direkte Rechnung bestätigt werden. 
Nun brauchen wir nur die am Schlüsse des vorigen Paragraphen 
Angestellten Überlegungen wiederaufzunehmen, so können wir die be 
hauptete Eigenschaft aus ihnen folgern. Es seien P eine Biegungs 
linienfläche des Paraboloids P 0 , P, eine mittels einer Transformation 
B k aus P abgeleitete Fläche, von der wir zunächst voraussetzen, daß 
ihre Erzeugenden dem ersten Strahlensystem P angehören, g, y zwei 
beliebige einander entsprechende Geraden auf P, P 1? und F, F t zwei 
einander entsprechende Punkte auf ihnen. Wickeln wir P auf P 0 ab, 
so decken sich die Gerade g mit z. B. g x und die an g gekoppelte 
Gerade y mit einer gewissen Erzeugenden g 2 von P k aus derjenigen 
Schar, welche der Schar, zu der g x gehört, homolog ist. Wir fassen 
dann die beiden Erzeugenden g x , g 2 von P k , P 0 ins Auge, die g x bzw. g 2 
bei der Ivoryschen Verwandtschaft entsprechen. Wie erwähnt, bringt 
eine starre Bewegung das Paar (g t , g 2 ) und die Strecken M x M 2 mit 
dem Paar (g lf g 2 ) und den Strecken M X M 2 zur Deckung. Wickeln 
Bianchi, Differentialgeometrie. 2. Aufl. 36