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Kap. 4. Die Fundamentalgleichungen der Flächentheorie.
Hieraus folgt unmittelbar: r 1 und r 2 sind die Hauptkrümraungs-
radien der Normalscbnitte längs der Krümmungslinien. Diese
Schnitte heißen Hauptschnitte, deshalb r x und r 2 , wie bereits be
merkt, Hauptkrümmungsradien; die Krümmungsmittelpunkte der
Hauptschnitte sind die beiden am Schlüsse des § 52 betrachteten Punkte
M t und M 2 . Sie werden die Krümmungsmittelpunkte der Fläche
in M genannt.
Wir untersuchen nun, wie sich der Krümmungsradius R des Nor
malschnitts ändert, wenn die Schnittebene gedreht wird. Ein recht
klares Bild von der Art der Änderung erhält man mit Hilfe der fol
genden Überlegungen;
1) Nehmen wir an, es hätten in dem betreffenden Punkte und
r 2 dasselbe, z. B. das positive Zeichen. In der Tangentialebene von M
führen wir ein rechtwinkliges Koordinatensystem ein, dessen Achsen ij,
7] bezüglich mit den Tangenten der Krümmungslinien u, v zusammen
fallen, und betrachten diejenige Ellipse, welche die Gleichung:
(i6) k+k -1
hat.
Die Länge eines Halbmessers q der Ellipse, der mit der rj-Achse
(Tangente der Kurve v) den Winkel ff bildet, ist durch die Gleichung:
gegeben. Also ist wegen (15)
cos 2 ff sin 2 ff
r, r,
= R.
Es ist daher das Quadrat jedes Halbmessers der Ellipse (16)
gleich dem Krümmungsradius desjenigen Normalschnitts,
dessen Ebene durch den betreffenden Halbmesser gelegt ist.
Aus diesem Grunde wird die Ellipse (16) die Indikatrixellipse ge
nannt.
Es mag bemerkt werden, daß sie für r t = r 2 ein Kreis wird und
also in diesem Falle alle Normalschnitte durch M denselben Krüm
mungsradius haben. Der Punkt M wird dann ein Kreis- oder Na
belpunkt genannt. Die einzige Fläche, deren sämtliche Punkte Kreis
punkte sind, ist die Kugel 1 ).
2) Es mögen nun r l und r 2 entgegengesetzte Vorzeichen haben,
und um die Ideen zu fixieren, nehmen wir positiv, r 2 negativ an.
Wir betrachten dann in der Tangentialebene die beiden konjugierten
Hyperbeln;
1) In der Tat muß für eine solche Fläche überall D : D': D" = E: F: G sein.
