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§ 307. Unbeschränkte Integrabilität des Systems. 
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§ 308. Berechnung des Linienelements der Flächen S\. 
Wie in § 292 müssen wir vor allem 
ds\ = J£dx\ = E x du 2 -j- 2F 1 dudv -f G x dv 2 
für die transformierten Flächen S i berechnen. Aus den Gleichungen 
(25) leiten wir zunächst ah: 
E l -ELl+‘2FL„M n +GMl+‘2 [{EL,+FM,)^+{FL,+ GM,)^f^+ 
F l =EL,P,+F{L,Q,+M,P,)+GM,Q,+[{EP,+FQ,)^+{FP^QG,) d ^ l + 
(28) { +[iEL 0 +FM 0 )H+(FL 0 + GM,) ||] || + 
+ [ E iw) ,+ 2F U^ +G iu) , ]l-J^+(W«i)(D'l+D" m ), 
G,=EPl + 2FP, Q, + G Ql+2[{EP„+FQ ll )^+{EPo+ G + 
Auch hier können wir, um die Rechnungen zu vereinfachen, den 
speziellen Fall ins Auge fassen, in dem S das Hyperboloid selbst ist; 
dann ist: 
2}/abc 
D = Q, ir = 
1)" = 0, 
(w+ v YVq 
und die rechten Seiten der Differentialgleichungen (I) verschwinden, 
so daß # = Const. ihr Integral ist. Geometrisch bedeutet dieses, daß 
sich in diesem Falle die transformierten Flächen S t auf die einzelnen 
Erzeugenden 0- des konfokalen Hyperboloids Q k zusammenziehen. Be 
zeichnen wir noch mit 
Xqj ^07 Z Q1 -^Of ^0? ^01 y0) ^o5 G o 
die jetzt vorliegenden speziellen Werte von 
Xj y, %j A, 1, x 1} y 1} h 1} Fj, G 1 , 
so haben wir: 
(29) 
— I 7 ^ I ^ «o 
x a — X 0 + l -ö-’ + ni -TT- 5 USW., 
0 0 1 du öv 
! ¿ a ’o j d x o I J\J CX ° 4- T)'m Y 
\ du - L 0Tu +M *~dv + J) o mA o, 
dx, 
(30) 
c x ( 
dv 
° = P. 
ox 0 
0 du 
'0 l "“0 
USW.