-f- •(m-y.+l-ny'-l) ç a _j_ 
est convergente, elle a pour somme, 
-n. arc. tang (V^) 
((1 + #) 2 + b 2 ) * e v 1 + a [cos (m. arc. tang Ç-~) + ~ log ((1 + «) 2 +ô 2 )) 
4-j/"--l.sin (?n. arc.tang (jA-) + -| log((l + «) 2 +6 2 ))J. 
II. La série est convergente pour toute valeur île m et n, lorsque la quantité 
Y (a 2 + b 2 ) est inférieure à l’unité. Si Y {a 2 -f- b 2 ) est égal à l’unité la série est 
convergente pour toute valeur de m comprise entre — 1 et -f- oo, sinon en même 
temps a = —1. Si a = —1, m doit être positif. Dans tout autre cas la 
série proposée est divergente. 
Comme cas particuliers on doit considérer les suivants: 
A. Lorsque n = 0. 
On a alors; 
(l+^(a + t>V-l) + ^Y^-(a + bY—!)* + ••• 
24V m * 
| — ((l+^) 2 +^ 2 ) 2 [cos (m.arc.tang. -\~Y-^ «sin (jn. arc.tang 
Cette expression donne, en faisant a = a . cos <r, b = u . sin w et en sé- 
parant les termes réels des imaginaires: 
| M—y u • cos (p + y-)-a 2 . cos 2(p + etc. = (i + 2a cos cp + ci 2 ) 2 cos (m. arc. 1 
| ” « siny+— ^ a 2 .sin2cp + etc. = (1 + 2«coscp + a 2 ) 2 sin (m.arc.tang asîn<p - 
V 1 ' \ l + acos<j 
B. Lorsque b = 0. 
Dans ce cas l’expression générale prend la forme suivante: 
) 
asing 
1 + acosq 
26) 
1 + 
m + n \/-l 
+ ( m + ^V / - 1 )(^- 1 + ^V / - 1 ) a 2 etc# 
(1 + «) m [cos (n log (1 + à)) -f- Y 1 • sin (n. log (1 + «))]• 
C. Lorsque n= 0, b — 0. 
Alors on a: 
27) 1 + ”. a + yyi .g- + ~ 1 ) (” - 2 > .«■+... = (! + „)? 
1 1 • 2 1.2.3 
Cette expression a lieu pour toute valeur de m lorsque la valeur numé 
rique de a est inférieure à F unité, de plus pour toute valeur de m comprise 
entre — 1 et oo, lorsque a= 1, et pour toute valeur positive de m 9 lorsque 
( or.