618 Kap. 21. Transform. B k d. a. andere Flächen zweiten Grades abwickelb. Flächen. 
bedeutet also cp einen reellen Winkel, so können wir setzen: 
(40) l = a cos 6e i( P, m = a cos ae~ i( f 
und erhalten daraus: 
(41) 
e i( P = 
1 — sin 6 X 
COS ff fl 
Statt der unbekannten Funktion ff(w, v) führen wir somit die (reelle) 
Funktion cp(u, w) ein und suchen die sie bestimmenden Differential 
gleichungen. 
Aus (36) ergibt sich: 
(42) 
U = 
1 — sin a V 
cos 6 1 -)- sin c 7 
V = 
1 -f- sin ff ft 2 
COS 6 1 -f- sin 'S- ’ 
und aus den Differentialgleichungen (I) (für s = -f 1), S. 573: 
(43) 
d& 
sin 8 gV 
+ 
i sin 3 g{DU -|- B’V) 
du 
(u -j- v) S COS 2 ff 
2 cos 2 ff 
d& 
sin 3 G U 
+ 
i sin 3 g {D'U-\- D"V) 
dv 
(u -f- V) 2 COS 2 ff 
2 cos* ff 
Aber durch Differentiation von (41) erhalten wir: 
.dqo 1-f-sin ■O 1 (u -f- v) (1 -(- sin it) d& 
^ du X X(i du’ 
• dtp 1 -)- sin ■9’ (u -j- v) (1 -|- sin 9) d& 
^dv (i ' Xfi dv 2 
und durch Einsetzen der Werte (43) in diesen Gleichungen und unter 
Berücksichtigung der Identitäten: 
1 -f- sin O 1 1 A cosce -t9) \ 
X u -f- v \ 1 sin g / ’ 
1-f-sin O- 1 / cosae'V 
fi ti -j- v \ 1 — sin a ) 
erhalten wir endlich als gesuchte Differentialgleichungen für cp die 
folgenden: 
(44) 
.d<p 
1 | 
fl 
1 du 
u-\-v ' 
V COS ff, 
.dcp 
1 1 
( e< " 1 
dv 
u-\- V ' 
Vcos ff 
+ itg ö (u -f v) (e'^-D + 
-(- itg 6 (u + v) (e^D' + . 
Um zu erkennen, ob ihnen durch reelles (anfänglich willkürliches) cp 
genügt werden kann, brauchen wir sie nur in reelle Koordinaten cc, ß 
zu transformieren, wodurch das Imaginäre verschwindet. 
Bezeichnen wir nämlich mit 
A da 2 + 2A ’dadß + A"dß 2