§ 326. Neue Formeln für die Bäcklundsche Transí, der pseudosph. Flächen. 619 
die zweite Grundform von S in reellen Koordinaten a, ß, so sind die 
Koeffizienten A 7 A', A" reell, und da eben 
Ada 2 -f 2A'dadß + A"dß 2 = JDdu 2 -f- 2JD'dudv -f 1)" dv 2 
ist, erhalten wir: 
A = 2D' + I) + D", A' = i(D - D"), A" = 2D'- D - D". 
Durch Addition und Subtraktion von (44) ergeben sich die endgültigen 
Gleichungen in der folgenden reellen Form: 
(45) 
d cp sin Cp . , , . , . , . N 
k— = V cc tg 6 (A cos cp -f A sin cp), 
da a COS 6 1 o \ ti Ty > 
dw cos 6 — cos qp , , K , . * „ . N 
M° «COS» + gt 8 g ( A cosy + A sin 9). 
Sie bilden augenscheinlich ein vollständig integrierbares System 1 ), 
und wird für cp eine beliebige Lösung derselben gewählt, so ergeben 
die Gleichungen: 
(46) 
x -f- a cos 6 ^cos cp 
dx 
da 
USW. 
die pseudosphärische Transformationsfläche S if die mit der Ausgangs 
fläche S die Brennfläche eines (pseudosphärischen) Strahlensystems bildet. 
Aus (46) ergibt sich auch die geometrische Bedeutung des Winkels cp; 
er ist nämlich der Neigungswinkel des Kongruenzstrahles FF X gegen 
die geodätischen Parallelen ß = Const. 
Die Gleichungen (45) sind nichts anderes als diejenigen der Bäek 
ln nd sehen Transformation; nur sind hier als Parameterlinien statt der 
Krümmungslinien der Fläche die geodätischen Parallelen eines Büschels 
und die orthogonalen Grenzkreise verwandt. 
§ 327. Vergleich mit den allgemeinen Eigenschaften 
der Transformationen Bk- 
Die Bäcklund sehen Transformationen der pseudosphärischen 
Flächen haben sich somit wieder als ein spezieller Fall der allgemeinen 
Transformationen B k ergeben. 
1) Dies ergibt sich übrigens unmittelbar auf Grund der Codazzischen Glei 
chungen : 
d(a A') __ d(aA) = , 
da dß ~ ^ ’ 
d(aA') d(aA") . 
dß da — A > 
und der Gaußischen Gleichung: 
a\AA" — A' *) = — 1.