626 Kap. 22. Allgemeine Sätze über dreifache orthogonale Flächensysteme. 
Die Gleichungen (1) dienen zur Berechnung der krummlinigen Koor 
dinaten eines Punktes, wenn seine Cartesischen Koordinaten bekannt 
sind, die Gleichungen (2) im umgekehrten Falle. Es ist klar, daß zur 
Einführung eines Systems krummliniger Koordinaten nur die Veränder 
lichen x, y, z gleich drei voneinander unabhängigen Funktionen dreier 
neuer Veränderlichen p 1; p 2 , p 3 gesetzt zu werden brauchen. 
Eine Gleichung zwischen den krummlinigen Koordinaten eines 
Punktes: 
(3) f (Qi, i>2, i> 3 ) = 0 
stellt offenbar eine Fläche dar, deren gewöhnliche Gleichung sich er 
gibt, wenn in (3) für p 1? p 2 , p 3 ihre Werte (1) in x, y, z eingesetzt 
werden. Zwei Gleichungen von der Form (3) stellen eine Kurve dar. 
übrigens ist es öfters zweckmäßig, eine Kurve analytisch in der Weise 
zu definieren, daß die krummlinigen Koordinaten q v p 2 , p 3 eines beweg 
lichen Punktes der Kurve gleich drei Funktionen eines und desselben 
Parameters t gesetzt werden. Denken wir uns eine Kurve in dieser 
Weise definiert und bezeichnen wir ihr Linienelement mit ds, so folgt: 
ds^^ i d Ql+ lf i d Q2+ §f s d Q3 ) 2 + 
+ Qi d ^ + ii d ** + ¡i d **) + 
+ ii d v*+§i d ^) • 
Setzen wir: 
*-2 
v ^7 dx dx , ^7 dx dx 
n13 =Zj dV* 0* 7 
so erhalten wir: 
(4) ds 2 = E\dg\ + H\dQ\ + H\dQ 2 + 2h 12 dQ x dQ 2 + 
-j- 2/q 3 dQidp 3 -f- 2Ji 2Z dQ 2 dQ z . 
Wir bezeichnen diesen Ausdruck als das Quadrat des Linienelements 
des Raumes. Dieser Ausdruck ist nichts anderes als die mittels der 
Substitution (2) transformierte quadratische Differentialform; 
dx 2 -j- dy 2 + dz 2 . 
Wir nehmen nun an, daß jede Fläche einer der drei Scharen alle 
Flächen der anderen beiden Scharen orthogonal schneide. Die not 
wendigen und hinreichenden Bedingungen hierfür sind die Gleichungen: 
h\ 2 == 0 > h 13 = 0, /¿23 = 0 • 
2& 
^12— X? 
dx' 
ÎV 
dx dx 
d Qi d