§ 330. Darboux-Dupinscher Satz. 
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und bezeichnen wir mit dem Symbol d die dieser Wanderung ent 
sprechenden Differentiale, so haben wir: 
doi doi 
dgi dQi 
d_Qi dQi 
dy dz 
dz dx 
dx dy 
d Qi dQi 
d Qi dQi 
dQi dQi 
dy dz 
dz dx 
dx dy 
Demnach geht (7) über in: 
Bedeuten aber X, Y, Z die Richtungskosinus der Normale der Fläche: 
so ist: 
Qi V ) &) Q% » 
Y V • 7 ^ P2 . d Qi . d Qi 
A ’ • “ dx * Jy * dz ’ 
und die vorhergehende Gleichung lautet wegen (5): 
Andrerseits ist identisch: 
^SX + ^är+^SZ-0, 
folglich ist die Integrabilitätsbedingung äquivalent der Proportion: 
dx : dy : dz = dX : d Y : dZ. 
Diese besagt nun aber (§ 51, S. 97), daß die Schnittkurve zweier Flächen 
p 1? p 2 eine Krümmungslinie für die zweite, also auch für die erste 
Fläche ist. 
Wir haben somit den Darbouxschen Satz: 
Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß 
zwei zueinander orthogonalen Flächenscharen eine dritte 
zugeordnet werden kann, die zu beiden orthogonal ist, be 
steht darin, daß jede Fläche der ersten und jede Fläche 
der zweiten Schar einander in Krümmungslinien schneiden 
müssen. 
Hierin ist der berühmte ältere Dupinsche Satz enthalten: 
In jedem dreifachen Orthogonalsystem ist die Schnitt 
kurve zweier nicht derselben Schar angehöriger Flächen eine 
Krümmungslinie für beide.