630 Kap. 22. Allgemeine Sätze über dreifache orthogonale Flächensysteme. 
§ 331. Folgerungen aus dem Darboux-Dupinsclien Satze. 
Aus den vorstehenden Sätzen ergibt sich, daß eine willkürlich ge 
wählte Schar von oo 1 Flächen: 
ihO,y, *) = Ql 
im allgemeinen keinem dreifachen Orthogonalsystem angehört. Diese 
Schar von oo 1 Flächen bestimmt nämlich eindeutig die Schar von oo 2 
Kurven, die alle Flächen orthogonal schneiden. 1 ) Gehörte nun die 
Schar: q x {x, y, z) = einem dreifachen Orthogonalsystem an und be 
trachteten wir auf einer Fläche eine Krümmungslinie L, so bildeten 
alle diejenigen Orthogonaltrajektorien der Schar, welche von den Punkten 
von L ausgehen, eine Fläche, die alle übrigen Flächen der Schar in 
Krümmungslinien schneiden müßte. 
Es ist sehr bemerkenswert, daß diese geometrische Bedingung, 
der die Schar: Q t (x, y, z) = genügen muß, sich durch eine par 
tielle Differentialgleichung dritter Ordnung für die Funktion 
Pj ausdrücken läßt. Zu diesem wichtigen Ergebnis, das in der hier 
gegebenen Fassung von Darboux herrührt 2 ), gelangen wir auf folgende 
Weise: 
Wir betrachten die Krümmungslinien einer und derselben Schar 
auf allen Flächen = Const. Zu dieser Schar von oo 2 Kurven muß 
es eine Schar von oo 1 Orthogonalflächen geben, und umgekehrt: Ist 
dieses der Fall, so gehört die Schar: = Const. einem dreifachen Ortho 
gonalsystem an (§ 330). Bedeuten also X 1} Y lf Z 1 die Richtungs 
kosinus der Tangenten dieser Kurven, so muß die totale Differential 
gleichung (§ 184, S. 346): 
X^dx -f- Y 1 dy -f- Z^dz = 0 
integrierbar sein, d. h. es besteht mit Notwendigkeit die Identität: 
/qn y 0Y t dZ,\ Y (dZ, dXA ,dX t dTA 
^ [Tz ~ Yy) + Zi [w + \w ~ m = °- 
Aus den Fundamentalgleichungen der Flächentheorie (Kap. IV) ergibt 
sich aber, daß sich X 1} Y lf Z ± durch die ersten und zweiten Diflferen- 
1) Diese Kurven ergeben sich durch Integration des Systems simultaner ge 
wöhnlicher Differentialgleichungen: 
dx dy dz 
8 Qi 8qi 8 Qi 
dx dy dz 
2) Zu der Zurückführung der Bestimmung der dreifachen Orthogonalsysteme 
auf eine partielle Differentialgleichung dritter Ordnung mit drei Veränderlichen 
war auf einem anderen Wege schon Bonnet gelangt.