632 Kap. 22. Allgemeine Sätze über dreifache orthogonale Flächensysteme. 
zweiten Differentialquotienten immer als endlich und stetig voraus und 
bezeichnen mit H XJ H 2 , H 5 die positiven Werte ihrer Quadratwurzeln. 
Bezeichnen wir mit ds t , ds 2 , ds 3 die positiven Bogenelemente der 
jenigen Kurven (Krümmungslinien) des dreifachen Orthogonalsystems, 
längs deren nur oder q 2 oder q 3 sich ändert, und setzen wir als 
positive Richtung der Kurve diejenige des betreffenden wachsenden 
Parameters fest, so haben wir: 
ds k — H-^dQ-^, ds 2 — d po, ds 3 — d o.>. 
Setzen wir ferner: 
X 
J_ dx y l dy 
sTidQi’ ±i = H i dV i ’ 
7 _ 1 dz 
i_ H d Qi 
(¿=1,2, 3), 
so sind X i} Y iy Zi die Kosinus der positiven Richtung der Tangente 
zur Kurve d. h. der Normale der Fläche p t . = Const. Die drei Rich 
tungen X { , Y { , Zi bilden ein rechtwinkliges Trieder, das wir Haupt- 
trieder nennen (vgl. S. 93). Um die Ideen zu fixieren, nehmen wir 
es als ebenso orientiert an, wie das Koordinatenkreuz 0{x, y, z), so 
daß die Determinante: 
Zl 
*2 
X 
¿2 
*3 
^3 
rechtsgedreht (gleich + 1) ist. 
Wir leiten nun die grundlegenden Gleichungen ab, mittels welcher 
die Differentialquotienten der Kosinus ein und derselben Reihe in obiger 
Determinante nach p l7 p 2 , p 3 linear und homogen durch die Kosinus 
selbst ausgedrückt werden, wobei Koeffizienten auftreten, die nur von 
H 1} H 2 , H 5 abhängen. 
Aus den Gleichungen: 
0' + *) 
folgen durch Differentiation nach q., Q k unmittelbar die nachstehenden: 
x 'ST' dx d i x 
a ) 2/, 
b) 
(*> h beliebig) 
dQi dQidQk 
(•+*)• 
Ist ferner ihl eine beliebige Permutation der Indizes 1, 2, 3, so ist 
weiter: 
^ dx d 2 x 
c ) 
dç, dQidg k 
= 0 (i k =$= T),