§ 332. Differentialgleichungen für die Richtungskosinus des Haupttrieders. 633 
denn dieses besagt eben, daß auf der Fläche p, = Const. die Kurven 
q. } Q k ein konjugiertes System bilden, wie aus dem Dupinschen Satze 
folgt. 1 ) 
Aus a), b), c) ergeben sich für die Ableitungen von X it Y lf Z x 
nach pj, p 2 , q 3 sofort die folgenden linearen Gleichungensysteme: 
dx t 
d Pi 
+ Yi 
2Zl 
dqt 
+ 
1 O) 
ii 
-o, 
*2 
dX, 
dq 1 
+ *2 
8Y 1 
dqi 
+ Z 3 
dZ x _ 
dq t 
= — 
i dH; 
H 2 dq 2 
*3 
dX t 
dq t 
+ Y 3 
8Y t 
dq t 
+ Z 3 
dz x _ 
dq x 
= — 
j_dH t 
H s dq s 
dX x 
8 q* 
+ 7i 
9T t 
8q s 
+ 
dz^ _ 
8q 3 
= 0, 
*2 
dX t 
8q 2 
+ r 2 
8T t 
8q 2 
+ Z 2 
dZ t _ 
8q 2 
1 
8H, 
8q t ’ 
*3 
dX, 
8q t 
+ Y 3 
djx 
dq* 
+ 
dz l _ 
8q 2 
= 0; 
dx t 
8q s 
+ *i 
8Y X 
8q 3 
+ 3i 
dz x _ 
8q 3 
-o, 
x 2 
dx t 
8q 3 
8Y l 
8q 3 
+ Z 2 
dZ 1 
8q 3 
= o, 
X 3 
dX 1 
8q 3 
+ *3 
8Y t 
8q s 
+ ^3 
dz, 
8 q s 
1 
'K 
8 H 9 
dq t 
Durch Auflösung erhalten wir als gesuchte Gleichungen die folgenden: 
dx t _ __ x* dB\ _x fs dH, dx\ = x 3 dH* 8x t = x s ah s 
d Ql ~ H % dq* H s dq s > d Qt H t d Ql * dq s H, d 9l '* 
1) Übrigens ergeben sich die Gleichungen c) direkt aus den folgenden drei: 
dx dx 
d 9l d q 2 
ghc dx _ 
8q s dq s ~ U ’ 
dx dx 
8q 3 dq t 
= 0 
durch Differentiation nach q s bzw. q t bzw. p 3 . 
Setzen wir: 
dx d*x 
d(?x 8q 3 dq s ’ 
dx d*x 
dq 2 dq 1 dq s ’ 
•ya* d*x 
^ dq.dqjq^ 
so folgt: 
also eben: 
B + C=0, C-\- A = 0, A + B = 0, 
A = B = C = 0. 
Hiermit ist auch wieder der Dupinsche Satz bewiesen.