§ 333. Die Lameschen Bedingungsgleichungen.
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iß
d
f 1
dH 2 \
l +
d
1 1
cHa
i _i_
1
dH,
dH,
0
d<h
u
dgj
U 2
CQi )
m
ÖQs
ÖQ 3
d
/ 1
dH s \
d
z 1
dHA
1 1
i
dH,
dH,
A
ÖQi
U 2
dgj
1 ~r
\H S
dgj
1 ~r
Hl
dg.
OQt
— u
d
/1
dHA
+
d
z1
dHA
1 +
1
dH,
dH\
A
ÖQs
\H,
¿Qs/
u
8qi j
m
dg*
dg.
= u
Umgekehrt setzen wir nun voraus, daß die drei Funktionen H der p
den Gleichungen (Ä) und {B) genügen, und wollen beweisen, daß dann
ein und nur ein entsprechendes dreifaches Orthogonalsystem vorhanden
ist. Unter diesen Voraussetzungen ist nämlich das System (a) unbe
schränkt integrierbar, und jedes Lösungensystem: U 1; Z7 2 , U 3 ist durch
die Anfangswerte: ü[ 0) , U 2 \ U 3 0) für ein Anfangssystem: p ( 2 0) , pg 01
von Werten der p eindeutig bestimmt. Sind nun U ± , U 2 , U 3 ; V t , V 2 , V 3
zwei beliebige, verschiedene oder übereinstimmende, Lösungensysteme
von («), so ist offenbar identisch:
<*№Fi+ U 2 V 2 + U 3 F 3 ) = 0,
also: JJ X V, + U 2 V 2 + ü 3 V 3 = Const.
Nach diesen Vorbemerkungen ist klar, daß drei Lösungssysteme:
X L , X 2 , X 3 ; Y x , Y 2 , Y 37 Z lf Z 2 , Z 3 gefunden werden können, welche
die Koeffizienten einer orthogonalen Substitution sind, wozu hinreicht,
daß dieses anfänglich der Fall ist (vgl. § 50). Dann sind die drei
Ausdrücke:
2B i x t d Vt =idx, 2a,T'dv, = iy, ,z,d 9t = d'
wegen der Gleichungen («), denen die X, Y, Z genügen, vollständige
Differentiale und x, y, z ihre Integrale. Somit haben wir:
dx 2 -f- dy 2 + dz 2 = H 2 dQl + H%dQ 2 2 + H 2 dQ 2 3 ,
und das gesuchte dreifache Orthogonalsystem ist wirklich vorhanden.
Der Beweis läßt ferner erkennen, daß es bis auf Bewegungen im Raume
auch eindeutig bestimmt ist (vgl. § 50).
Die Gleichungen (A) und (B) sind zum erstenmale von Lame auf
gestellt worden und werden als die Lameschen Gleichungen be
zeichnet. Wir können also sagen:
Die Lameschen Gleichungen (X) und (B) geben die not
wendigen und hinreichenden Bedingungen dafür an, daß die
ternäre quadratische Form:
HtdQl + Bldti + Hldfil
in die Summe der Quadrate dreier Differentiale:
dx 2 dy 2 + dz 2
