636 Kap. 22. Allgemeine Sätze über dreifache orthogonale Flächensysteme. 
transformierbar ist, d. h. daß sie als Linienelementquadrat 
des (euklidischen) Raumes aufgefaßt werden kann. 
Es sei noch darauf hingewiesen, daß das drei solchen Funktionen 
H entsprechende dreifache Orthogonalsystem eindeutig bestimmt ist. 
Um es zu erhalten, müssen wir das System {d) integrieren, das durch 
eine einzige Gleichung vom Riccatischen Typus ersetzt werden kann. 
§ 334. Konforme Abbildungen des Raumes, 
Die Lame sehen Gleichungen sind von Liouville zur Entscheidung 
der Frage angewandt worden, ob es möglich ist, den Raum winkeltreu 
auf sich selbst abzubilden. Liouville ist zu dem wichtigen Satze 
gelangt: 
Die einzig möglichen konformen Abbildungen des Rau 
mes auf sich selbst sind die Ahnlichkeitstransformationen 
und die Transformationen mittels reziproker Radienvektoren 
in Verbindung mit Verschiebungen. 
Zum Beweise nehmen wir x, y, z als die Koordinaten eines be 
liebigen Punktes des Raumes (oder Raumgebiets) und |, r¡, £ als die 
Koordinaten des bei der vorausgesetzten konformen Abbildung ent 
sprechenden Punktes an, so daß £, r¡, £ bestimmte Funktionen von 
x, y, z sind. Soll die Abbildung winkeltreu sein, so muß das Ver 
hältnis: 
dl*-Mn*-MP 
dx*-^ dy* -f- dz 2 
von den Zunahmen dx, dy, dz unabhängig, d. h.: 
di? + dr? + d£ 2 = ~ {dx 2 + dy 2 -f dz 2 ) 
sein, wo X eine Funktion von x, y } z ist. Wird nun in den L amé sehen 
Gleichungen {Ä) und {B) 
x = Qu V ~ Qi) ^ ~ Q'i) ~ = H s — j 
gesetzt, so ergeben sich die folgenden; 
[a) 
an . an an . an an . an 
_ a * = o 
dydz ’ dzdx 
= o -ÜL„o 
* dxdy ’ 
íif\ ^ i , an _ an an _ i r/dxy . /ai\* . /ax\n 
KP) dx* + dy 8 ~ dy* + dz*~W* + dd*~ Í LW + \dy) + Wz) J • 
Nun ergibt sich aus (a): 
X = X+ Y+Z,