§ 334. Konforme Abbildungen des Raumes. 
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wo X nur von x, Y nur von y, Z nur von z abhängt. Setzen wir dies 
in den Gleichungen (ß) ein, so erhalten wir: 
(r) 
X' 
Y" = X" = 
X' s + Y'*-\-Z ri 
2{X+Y+Z) 
Ist k = 0, so folgt hieraus: 
k = Const.; 
Const. = Je. 
demnach ist die entsprechende Transformation einfach eine Ähnlich- 
keitstransformation. Entgegengesetztenfalls setzen wir Je gleich — und 
erhalten durch Integration: 
x = ![(*-«)* + b], 
Y= \\{y- «i) 2 + 
Zz =y\^ z - a *y + h *]’ 
wo a, h- a lf \ neue Konstanten sind. Da aber infolge von (y) 
[{x — a) 2 -f {y — a^ 2 + (z — a 2 ) 2 + & + \ + & 2 ] = 
= 0 ~ af + (y ~ «i) 2 + {* — a if 
sein muß, so folgt daraus: 
& “f- ö • 
Dadurch, daß wir nun mit der vom Punkte (x, y, z) beschriebenen Figur 
eine geeignete Translation vornehmen, können wir l einfach gleich 
x* -f 2/* + z* 
c 
machen, d. h. es ist: 
dtf + drf + dt 2 = (dx 2 + dy 2 -f dz*). 
Dieser Gleichung genügen die Werte: 
t cx cy 9 cz 
5 = x' + y' + e*’ V = x*+y*-\-z*’ S ^ x* + y*+z*’ 
und dieses sind eben die Gleichungen für die Transformation mittels 
reziproker Radienvektoren bezüglich der Kugel: 
x 2 + y 2 + z 2 = c 2 . 
Der Liouvillesche Satz ist somit bewiesen. 1 ) 
Es mag bemerkt werden, daß die Transformation mittels reziproker 
ßadienvektoren ein dreifaches Orthogonalsystem wieder in ein solches 
überführt. Hieraus ergibt sich im Falle einer Schar paralleler Flächen 
1) Einen geometrischen Beweis hat Capelli gegeben. Annali di Matema- 
tica, 2. Serie, 14. Bd.