640 Kap. 22. Allgemeine Sätze über dreifache orthogonale Flächensysteme. 
Die geometrische Bedeutung des Winkels ist nach diesen Gleichungen 
die folgende: er ist der Winkel, den die positive Richtung der Nor 
male der Kurve p t - mit der Kurve p, bildet, und es ist: 
l l dco i 
Im einzelnen haben wir also außer den Gleichungen (11) noch die 
folgenden: 
(15) 1 = — -u 1 J_ = 1 _j_ JL _L_ _ _JL _i_ 1 
V / K>2 «.8 I ,.2 7 7?2 *.2 I 4-2 7 «2 ' 
(16) 
1 Id a», 1 1 dco 2 1 1 dco s 
T\ = n; d Ql ’ 
(17) tang oq = 
taug co 9 = — 
O A r 
/ oo 
tang co 3 = 
§ 336. Äquidistanzkurven und Cayleysche Gleichung. 
Das Bogenelement der Parameterlinien q 3 , 
ds 3 = H 3 dp 3 , 
kann auch als das unendlich kleine Stück der Normale der Fläche q 3 
zwischen dieser und der nächsten Fläche derselben Schar, p 3 + dQ 3 , 
angesehen werden. Auf der Fläche q 3 sind also die Kurven: H 3 — Const. 
diejenigen, längs deren dieses unendlich kleine Stück der Normale 
konstant ist; sie werden deshalb als die Äquidistanzkurven (Gleich- 
ahstandslinien) der Fläche q 3 = Const. bezeichnet. 1 ) Da nun die 
Richtungskosinus der Tangente der Äquidistanzkurve: H 3 = Const. pro 
portional dx, dy, dz, d. h. proportional dq x + d$ 2 usw. sind, 
andrerseits aber auch 
d. h.: 
FT 3 (pi -f- dQ u ç 2 -f dç 2 , q s ) = Const., 
dH, j , 
è II, 
ÖQi 
dç 2 
= 0 
ist, so sind hiernach die Richtungskosinus der Tangente proportional 
den Binomen: 
dH, dx dH, dx dH, dy dH, dy dH, dz dH, dz 
dQs dg t dg x dg s ’ dg t dg x dg 1 dg*’ d g 2 d g x dg x dg 2 ’ 
d. h, (§ 335) proportional cos A 3 , cos y 3 , cos v 3 . Daraus folgt der Satz: 
1) Nur im Falle, daß H s konstant wäre (oder von g, allein abbinge), würde 
jede Kurve als Äquidistanzkurve aufzufassen sein. Dann wäre aber: 
d. b. die Kurven g, wären 
parallel. 
0 
= 0, 
^18 ,- 2S 
gerade Linien und die Flächen p s = Const. einander