§ 354. Dreifache pseudosphärische Orthogonalsysteme. 
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Beständen nun die Gleichungen (3) nicht, so würde sich hieraus ergehen: 
wo M von und N von unabhängig wäre. Betrachten wir nun 
eine spezielle pseudosphärische Fläche p 3 = c und ersetzen wir die Para 
meter p 1? p 2 bezüglich durch: 
so erhalten wir für das Quadrat des Linienelements der Fläche q 3 -= c 
wegen (2) den Ausdruck: 
(5) ds 2 = cos 2 co du 2 4- sin 2 co dv 2 . 
Darin ist wegen (4) 
(6) 03 = ~y ? 
wo ü nur von u und V nur von v ahhängt. Da aber (5) das Quadrat 
des Linienelements einer pseudosphärischen Fläche vom Radius R ist, 
so muß co, wie sich analog wie in § 269, S. 488, für die Flächen kon 
stanter positiver Krümmung nachweisen läßt, der partiellen Differential 
gleichung: 
d^CO d 3 03 sincOCOSü) 
(6*) 
8»« du' B‘ 
genügen. Wegen der Gleichung (6) ist dieses, wie wir jetzt nach 
weisen wollen, nur daun möglich, wenn sich U oder V auf eine Kon 
stante reduziert. In diesem Falle wären die Flächen p 3 = c Rotations 
flächen, was der Voraussetzung widerspricht. 
Aus den Gleichungen (6) und (6*) würde sich nämlich ergeben: 
wobei die Striche Differentiationen andeuten. 
Wird diese Gleichung nach u, die dann entstehende nach v diffe 
renziert, so kommt: 
kW' (/c= Const.). 
Durch Integration folgt: 
7. TT 
2 V 2 =