§ 356. Aus Flächen konst. pos. Krümmung bestehende Lamesche Flächenfam. 681
schlossen betrachten wir diejenigen Lösungen des Problems, welche
sich für eine beliebige Schar von Kugeln oder Rotationsflächen ergeben.
Indem wir wie im voraufgehenden Paragraphen verfahren, können wir
z. B. setzen: ± dH ^ ctg h ff i _ tg h ff
J3iiT 8 " B > H a E 3 dg a — B ’
wo ff eine Funktion von p 17 p 2 , q 3 ist. Daraus ergibt sich für das
Quadrat des Linienelements der Ausdruck:
(10) ds 2 = sinh 2 ffö(p 2 -f- cosh 2 ff ^p 2 -f- -ß 2 (§^~) ^Qs’
und das System partieller Differentialgleichungen wird durch das fol
gende ersetzt:
(11)
. ¿) 2 ff d i ‘9' t sinh ff cosh ff ^
A = Jg i i dg\ ~ = U '
B
C i
d s &
& Qi $ Qi 9 Q
d
tgh ff
2 p, ÖQzdQs
= ° ?
/ 1
9 2 ff \
+ 1 8 1
(''cosh ff\
Vsinh ff dgj
[ B )
[ 1
a 2 ff \
1 d
+ BdgJ
^sinh ff^
Vcosh ff d q s J
[ B )
Umgekehrt entspricht jeder Lösung ff dieses Systems ein dreifaches
Orthogonalsystem (10) der gesuchten Art. Das System (11) hat die
selben Eigenschaften wie das System (9), von dem es sich analytisch
nicht unterscheidet, woraus sich auch in diesem Falle das Vorhanden
sein Lame scher Flächenfamilien mit fünf willkürlichen Funktionen
ergibt.
Aus den Ausdrücken (8), (10) für das Quadrat des Linienelements
geht hervor, daß die zweiten Fundamentalformen der Flächen konstanter
Krümmung p 3 = const. den Ausdrücken:
sin co cos co(d(jj — cIqI) bzw. sinh ff cosh ff((ip 2 + dgl)
proportional sind. Daraus folgt, daß, wenn auf zwei Flächen konstanter
Krümmung einer Lame sehen Familie die Schnittpunkte mit ihren
Orthogonaltrajektorien als einander entsprechend aufgefaßt werden, bei
dieser Zuordnung konjugierte Systeme (Haupttangentenkurven) wieder
konjugierten Systemen (Haupttangentenkurven) entsprechen. Also:
Bei jeder aus Flächen konstanter Krümmung bestehen
den Lameschen Flächenfamilie bestimmen die Orthogonal
trajektorien der Schar auf den einzelnen Flächen eine
Punktzuordnung, bei der konjugierte Systeme (Haupttan
gentenkurven) wieder konjugierten Systemen (Haupttangeu-
tenkurven) entsprechen.
