684 Kap. 24. Die aus Fl. konst. Krümm, bestehenden Lameschen Flächenfamilien. 
annimmt, wo die Funktion ca den Gleichungen (9) genügt. Auf jede 
pseudosphärische Fläche p 3 = const. wenden wir eine einfache Bäck- 
lundsche Transformation an (Kap. XVII). Wir bezeichnen mit Ti die 
konstante Entfernung der Brennpunkte in der zugehörigen pseudosphä 
rischen Kongruenz, mit <3 das Komplement des Neigungswinkels der Brenn 
ebenen, so daß 
(13) Ti = B cos 6 
ist, wo 1(, 6, B Funktionen von p 3 sind, und ferner mit Oj den Neigungs 
winkel des Kongruenzstrahls gegen die Krümmungslinien p 2 = const. 
Die Gleichungen (17), S, 459, lauten in den neuen Bezeichnungen 1 ): 
dco cos co sin ra, -f- sin ff sin co cos co 1 
k ’ 
ita, dco sin CO COS Mj -|- sin 6 cos CO sin CO, 
d?2 ¿>£»1 _ k 
Wir nehmen nun eine bestimmte Funktion ca 1 (q x , p 2 , p 3 ), die diesen 
Gleichungen (14) genügt, und fragen: Welchen weiteren Bedin 
gungen müssen wir ca 1 unterwerfen, damit die oo 1 transfor 
mierten pseudosphärischen Flächen die neuen Kurven p 3 
als Orthogonaltrajektorien haben? Da in diesem Falle die 
Bäcklundsche Transformation Krümmungslinien wieder in Krümmungs 
linien überführt, so gehören die abgeleiteten pseudosphärischen Flächen 
wieder einem dreifachen Orthogonalsystem an. Die gestellte Bedingung 
hat zunächst zur Folge, daß die Strecke Tc absolut konstant sein muß, 
denn eine Parameterkurve p 3 und ihre Transformierte müssen eben 
Orthogonaltrajektorien der Strecken Tc sein, die entsprechende Punkte 
auf ihnen verbinden. 
§ 359. Totale Differentialgleichung für die Funktion coi. 
Es seien x, y, z die Koordinaten eines Raumpunktes, bezogen auf 
das ursprüngliche dreifache System, x v y v z x die des Punktes, der aus 
ihm durch die Transformation hervorgeht. Dann haben wir (S. 459); 
< x x = x + &(cos ca 1 X x -f- sin X 2 ), 
(15) j Vi = V + Tc (cos « 1 Y x + sin ca x K 2 ), 
l z x — z + Tc (cos ca x Z x + sin g^ Z 2 ), 
1) In den angeführten Gleichungen sind tt, durch co bzw. m 1 und u, v 
durch bzw. zu ersetzen. 
(14)